Bài tập 21, § 6

Cho V là một không gian vectơ trên K có số chiều hữu hạn $n > 1$. Chứng minh rằng $\mathfrak{sl}(V)$ là đơn. (Rút gọn về trường hợp K đóng đại số. Giả sử rằng $\mathfrak{sl}(V) = a \times b$, với $\dim a = a > 0, \dim b = b > 0$. Gọi A (resp. B) là đại số kết hợp sinh bởi 1 và a (resp. b). Khi đó V có thể được xem như là một ($A \otimes_K B$)-môđun đơn. Do đó tồn tại một A-môđun P có số chiều hữu hạn $p$ trên K và một B-môđun Q có số chiều hữu hạn $q$ trên K sao cho V là ($A \otimes_K B$)-đẳng cấu với $P \otimes_K Q$ (Đại số, Chương VIII, § 7, no. 7, Mệnh đề 8 và no. 4, Định lý 2); P và Q trung thành và do đó $a \leq p^2, b \leq q^2$. Mặt khác, $a + b = n^2 - 1$ và $pq = n$, do đó $(p^2 - 1)(q^2 - 1) \leq 2$, điều này mâu thuẫn.)