Exercice 21, § 6

Soit V un espace vectoriel sur K de dimension finie $n > 1$. Montrer que $\mathfrak{sl}(V)$ est simple. (Se ramener au cas où K est algébriquement clos. Supposons $\mathfrak{sl}(V) = a \times b$, avec $\dim a = a > 0, \dim b = b > 0$. Soit A (resp. B) l’algèbre associative engendrée par 1 et a (resp. b). Alors V peut être considéré comme un $(A \otimes_k B)$-module simple. Donc il existe un A-module P de dimension finie $p$ sur K, et un B-module Q de dimension finie $q$ sur k, tels que V soit $(A \otimes_k B)$-isomorphe à $P \otimes_k Q$ (Alg., chap. VIII, § 7, no 7, prop. 8 et no 4, th. 2) ; P et Q sont fidèles, donc $a \leq p^2, b \leq q^2$. D’autre part, $a + b = n^2 - 1$, et $pq = n$, d’où $(p^2 - 1)(q^2 - 1) \leq 2$, ce qui est contradictoire.)