Bài tập 22, § 6

(a) Cho $g$ là một đại số Lie lũy linh trên một trường đóng đại số K có đặc số tùy ý. Cho $z$ là tâm của nó, $\rho$ là một biểu diễn hữu hạn chiều của $g$ và $\beta$ là dạng song tuyến tính liên kết. Chứng minh rằng $z \cap \mathscr{D}g$ trực giao với $g$ đối với $\beta$. (Rút gọn nó, sử dụng một chuỗi Jordan-Hölder, về trường hợp $\rho$ là đơn. Sau đó chú ý rằng, với $z \in z \cap \mathscr{D}g$, $\rho(z)$ là một ma trận vô hướng có vết bằng không. Sau đó sử dụng Bài tập 22 (b) của § 4.) Suy ra rằng, nếu $\beta$ không suy biến, $g$ là giao hoán. (Sử dụng Bài tập 3 (a) của § 4.)

(b) Giả sử rằng K có đặc số 2. Chứng minh rằng đối với đại số Lie giải được $\mathfrak{gl}(2, K) = \mathfrak{g}$ dạng song tuyến tính liên kết với biểu diễn đồng nhất là không suy biến, nhưng tâm $\mathfrak{z}$ được chứa trong $\mathscr{D}\mathfrak{g}$ và là $\neq \{0\}$.

(c) Cho $\mathfrak{g}$ là đại số Lie 6 chiều trên $K$ với cơ sở $(a, b, c, d, e, f)$ và bảng phép nhân $[a, b] = -[b, a] = d,\ [a, c] = -[c, a] = e,\ [b, c] = -[c, b] = f$ và các ngoặc khác bằng 0. Cho $\beta$ là dạng song tuyến tính trên $\mathfrak{g}$ sao cho $\beta(c, d) = \beta(d, c) = 1,\ \beta(a, f) = \beta(f, a) = 1,\ \beta(b, e) = \beta(e, b) = -1$ và các giá trị khác của $\beta$ trên các cặp có thứ tự của cơ sở của $\mathfrak{g}$ đang xét đều bằng 0. Chứng minh rằng $\beta$ là bất biến, $\mathfrak{g}$ lũy linh, $\mathfrak{z} = \mathscr{D}\mathfrak{g} \neq \{0\}$ và $\beta$ không suy biến.