Exercice 22, § 6

a) Soit $g$ une algèbre de Lie nilpotente sur un corps algébriquement clos K de caractéristique quelconque. Soient $z$ son centre, $\rho$ une représentation de dimension finie de $g$, $\beta$ la forme bilinéaire associée. Montrer que $z \cap \mathscr{O}g$ est orthogonal à $g$ pour $\beta$. (Se ramener, grâce à une suite de Jordan-Hölder, au cas où ρ est simple. Remarquer alors que, pour z ∈ $\mathfrak{g}$ ∩ $\mathfrak{s}$g, ρ(z) est une matrice scalaire de trace nulle. Utiliser ensuite l’exerc. 22 b) du § 4.) En déduire que, si β est non dégénérée, g est commutative. (Utiliser l’exerc. 3a) du § 4.)

b) On suppose K de caractéristique 2. Montrer que, pour l’algèbre de Lie résoluble gl(2, K) = g, la forme bilinéaire associée à la représentation identique est non dégénérée, mais que le centre $\mathfrak{g}$ est contenu dans $\mathfrak{s}$g et ≠ {0}.

c) Soit g l’algèbre de Lie de dimension 6 sur K, ayant une base (a, b, c, d, e, f) avec la table de multiplication [a, b] = −[b, a] = d, [a, c] = −[c, a] = e, [b, c] = −[c, b] = f, les autres crochets étant 0. Soit β la forme bilinéaire sur g telle que β(c, d) = β(d, c) = 1, β(a, f) = β(f, a) = 1, β(b, e) = β(e, b) = −1, les autres valeurs de β pour un couple d’éléments de la base de g considérée étant 0. Montrer que β est invariante, g nilpotente, $\mathfrak{g}$ = $\mathfrak{s}$g ≠ {0}, et β non dégénérée.