Bài tập 23, § 6

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie 3 chiều không giao hoán trên một trường $K$ có đặc số tùy ý.

(a) Nếu $\mathfrak{g}$ có tâm $\mathfrak{z} \neq \{0\}$, thì $\dim \mathfrak{z} = 1$ (§ 1, Bài tập 2) và $\dim \mathscr{D}\mathfrak{g} = 1$. Nếu $\mathfrak{z} \neq \mathscr{D}\mathfrak{g}$, $\mathfrak{g}$ là tích của $\mathfrak{z}$ và đại số không giao hoán 2 chiều. Nếu $\mathfrak{z} = \mathscr{D}\mathfrak{g}$, $\mathfrak{g}$ là đại số không giao hoán lũy linh 3 chiều (§ 4, Bài tập 9 (a)).

(b) Nếu $\mathfrak{z} = \{0\}$ nhưng tồn tại trong $\mathfrak{g}$ một đại số con giao hoán 2 chiều, đại số con này là duy nhất và bằng $\mathscr{D}\mathfrak{g}$; với mọi $x \notin \mathscr{D}\mathfrak{g}$, hạn chế $u$ của $\mathrm{ad}\,x$ lên $\mathscr{D}\mathfrak{g}$ là một song ánh của không gian vectơ này, được xác định sai khác bởi một hằng nhân. Ngược lại, mọi tự đẳng cấu $u$ của một không gian vectơ 2 chiều $Ka + Kb$ xác định một cấu trúc đại số Lie trên $g = Ka + Kb + Kc$ bởi các điều kiện $[a, b] = 0,\ [c, a] = u(a),\ [c, b] = u(b)$. Để hai đại số Lie được xác định như vậy bởi các tự đẳng cấu $u_1, u_2$ là đẳng cấu, điều kiện cần và đủ là các ma trận của $u_1$ và $u_2$ tương tự nhau sai khác bởi một nhân tử vô hướng.

(c) Giả sử rằng trong $\mathfrak{g}$ không tồn tại đại số con giao hoán nào có chiều $> 1$. Chứng minh rằng khi đó tồn tại $a \in \mathfrak{g}$ sao cho $a \notin (\mathrm{ad}\,a)\mathfrak{g}$ (giả sử rằng một phần tử $x$ không có tính chất này, hãy chứng minh, sử dụng đồng nhất thức Jacobi, rằng một phần tử khác có tính chất mong muốn). Khi đó tồn tại một cơ sở $(a, b, c)$ của $\mathfrak{g}$ sao cho $[a, b] = c,\ [a, c] = \beta b,\ [b, c] = \gamma a$, với $\beta \neq 0$ và $\gamma \neq 0$, và $\mathfrak{g}$ là đơn. Cho $\phi$ là một đẳng cấu chính tắc của $\mathfrak{g}$ lên lũy thừa ngoài $\bigwedge^2 \mathfrak{g}^*$ của không gian đối ngẫu của $\mathfrak{g}$, được xác định sai khác bởi một nhân tử khả nghịch (Algebra, Chương III, § 8, no. 5); cho $u$ là ánh xạ tuyến tính của $\mathfrak{g}$ vào $\mathfrak{g}^*$ được xác định bởi điều kiện $\langle [x, y], u(z) \rangle = \langle x \wedge y, \phi(z) \rangle$; dạng song tuyến tính $\Phi(x, y) = \langle x, u(y) \rangle$ trên $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}$ là đối xứng và không suy biến và $2\Phi$ là dạng Killing của $\mathfrak{g}$ sai khác bởi một nhân tử $\neq 0$. Đối với hai đại số Lie đơn 3 chiều trên $K$ để chúng đẳng cấu, điều kiện cần và đủ là các dạng song tuyến tính tương ứng tương đương sai khác bởi một nhân tử hằng $\neq 0$.

(d) Nếu $K$ không có đặc số 2, đại số đơn $\mathfrak{g}$ được định nghĩa trong (c) đẳng cấu với đại số Lie $\mathfrak{o}(\Phi)$ của nhóm trực giao hình thức $\mathbf{G}(\Phi)$ (§ 1, Bài tập 26 (a)). Để tồn tại trong $\mathfrak{g}$ các vectơ $x$ sao cho $\mathrm{ad}\,x$ nhận các vectơ riêng không tỉ lệ với $x$, điều kiện cần và đủ là $\Phi$ có chỉ số > 0; g khi đó có một cơ sở (a, b, c) sao cho [a, b] = b, [a, c] = -c, [b, c] = a.

(e) Nếu K có đặc số 2, chứng minh rằng không có phép 2 trên g và do đó g không phải là đại số Lie của một nhóm hình thức. Chứng minh rằng g có các đạo hàm không nội.