Exercice 23, § 6

Soit g une algèbre de Lie non commutative de dimension 3 sur un corps K de caractéristique quelconque.

a) Si g a un centre $\mathfrak{g}$ ≠ {0}, on a dim $\mathfrak{g}$ = 1 (§ 1, exerc. 2), et dim $\mathfrak{s}$g = 1. Si $\mathfrak{g}$ ≠ $\mathfrak{s}$g, g est produit de $\mathfrak{g}$ et de l’algèbre non commutative de dimension 2. Si $\mathfrak{g}$ = $\mathfrak{s}$g, g est l’algèbre nilpotente non commutative de dimension 3 (§ 4, exerc. 9 a)).

b) Si $\mathfrak{g}$ = {0}, mais s’il existe dans g une sous-algèbre commutative de dimension 2, cette sous-algèbre est unique et est égale à $\mathfrak{s}$g ; pour tout x ∈ $\mathfrak{s}$g, la restriction u de ad x à $\mathfrak{s}$g est une bijection de cet espace vectoriel, déterminée à une constante multiplicative près. Réciproquement, tout automorphisme u d’un espace vectoriel Ka + Kb de dimension 2 détermine une structure d’algèbre de Lie sur g = Ka + Kb + Kc par la condition que [a, b] = 0, [c, a] = u(a), [c, b] = u(b). Pour que deux algèbres de Lie ainsi définies par des automorphismes u₁, u₂ soient isomorphes, il faut et il suffit que les matrices de u₁ et u₂ soient semblables à un facteur scalaire près.

c) On suppose qu’il n’existe dans g aucune sous-algèbre commutative de dimension > 1. Montrer qu’il existe alors a ∈ g tel que a ∉ (ad a)(g) (en supposant qu’un élément x n’ait pas cette propriété, montrer, en utilisant l’identité de Jacobi, qu’un autre élément a la propriété voulue). Il existe alors une base (a, b, c) de g telle que [a, b] = c, [a, c] = βb, [b, c] = γa, avec β ≠ 0 et γ ≠ 0, et g est simple. Soit φ un isomorphisme canonique de g sur la puissance extérieure $\wedge^2 g^*$ de l’espace dual de g, déterminé à un facteur constant inversible près (Alg., chap. III, § 8, no 5) ; soit u l’application linéaire de g dans g* définie par la condition $\langle [x, y], u(z) \rangle = \langle x \wedge y, \varphi(z) \rangle$; la forme bilinéaire $\Phi(x, y) = \langle x, u(y) \rangle$ sur g × g est symétrique non dégénérée, et 2Φ est la forme de Killing de g à un facteur près ≠ 0. Pour que deux algèbres simples de dimension 3 sur K soient isomorphes, il faut et il suffit que les formes bilinéaires correspondantes soient équivalentes à un facteur constant près ≠ 0.

d) Si K n’est pas de caractéristique 2, l’algèbre simple g définie dans c) est isomorphe à l’algèbre de Lie o(Φ) du groupe orthogonal formel G(Φ) ( , exerc. 26 a)). Pour qu’il y ait dans g des vecteurs x tels que ad x admette des vecteurs propres non proportionnels à x, il faut et il suffit que Φ soit d’indice > 0 ; g admet alors une base (a, b, c) telle que [a, b] = b, [a, c] = −c, [b, c] = a

e) Si K est de caractéristique 2, montrer qu’il n’y a pas de 2-application dans g, et par suite que g n’est pas l’algèbre de Lie d’un groupe formel. Montrer que g admet des dérivations non intérieures.