Bài tập 24, § 6

Cho K là một trường có đặc số tùy ý $p$. Ta lại áp dụng Định nghĩa 1.

(a) Chứng minh rằng, trừ khi $p = n = 2$, các iđêan không tầm thường duy nhất của $gl(n, K)$ là tâm 1-chiều $\mathfrak{z}$ có cơ sở $\sum_{i=1}^{n} E_{ii}$ và đại số Lie $sl(n, K)$ gồm các ma trận có vết 0. (Ngoài trường hợp ngoại lệ đã chỉ ra, chú ý rằng nếu một iđêan $\mathfrak{a}$ chứa một trong các $E_{ij}$, thì nó tất yếu chứa $sl(n, K)$. Nếu $\mathfrak{a}$ chứa một phần tử không thuộc $\mathfrak{z}$, bằng cách nhân phần tử này với nhiều nhất bốn phần tử $E_{ij}$ được chọn thích hợp, ta thu được một bội khác không của một trong các $E_{ij}$. ) Nếu $n$ không là bội của $p$, chứng minh rằng $gl(n, K)$ là tổng trực tiếp của $\mathfrak{z}$ và $sl(n, K)$ và $sl(n, K)$ là đơn. Ngược lại, nếu $n$ là bội của $p$ và $n > 2$, chứng minh rằng $sl(n, K)/\mathfrak{z}$ là đơn (cùng các phương pháp).

(b) Chứng minh rằng, với $n$ là bội của $p$ và $n > 2$, $gl(n, K)/\mathfrak{z}$ có căn {0}, nhưng thừa nhận thương $gl(n, K)/sl(n, K)$ là Abel.