Exercice 24, § 6

Soit K un corps de caractéristique quelconque p. On adopte encore la déf. 1.

a) Montrer que, sauf pour p = n = 2, les seuls idéaux non triviaux de gl(n, K) sont le centre 3 de dimension 1, ayant pour base $\sum_{i=1}^{n} E_{ii}$, et l’algèbre de Lie sl(n, K) formée des matrices de trace 0. (Sauf dans le cas exceptionnel indiqué, remarquer que, si un idéal a contient un des $E_{ij}$, il contient nécessairement sl(n, K). Si a contient un élément n’appartenant pas à 3, en multipliant cet élément par au plus quatre éléments $E_{ij}$ convenablement choisis, on obtient un multiple non nul de l’un des $E_{ij}$.) Si n n’est pas multiple de p, montrer que gl(n, K) est somme directe de 3 et de sl(n, K), et sl(n, K) est simple. Si au contraire n est multiple de p et n > 2, montrer que sl(n, K)/3 est simple (mêmes méthodes).

b) Montrer que, pour n multiple de p et n > 2, gl(n, K)/3 a pour radical {0}, mais admet le quotient gl(n, K)/sl(n, K) qui est abélien.