Bài tập 25, § 6

Cho K là một trường có đặc số tùy ý $p$. Ký hiệu $sp(2n, K)$ là đại số Lie của nhóm symplectic hình thức theo $2n$ biến trên K (§ 1, Bài tập 26 (c)). Chứng minh rằng đại số Lie này, được đồng nhất với một đại số con của $gl(2n, K)$, có cơ sở gồm các phần tử

(a) Chứng minh rằng, nếu $p \neq 2$ và $n \geq 1$, đại số $sp(2n, K)$ là đơn (với $n = 1, sp(2, K) = sl(2, K)$). (Cùng phương pháp như trong Bài tập 24.)

(b) Nếu $p = 2$ và $n \geq 3$, chứng minh rằng các $H_i, F_{ij}, G'_{ij}$ và $G''_{ij}$ lập thành một iđêan $\mathfrak{a}$ có chiều $n(2n-1)$; các phần tử của $\mathfrak{a}$ có dạng

sao cho $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 0$ lập thành một iđêan $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}$ có chiều $n(2n-1) - 1$ và các bội của $\sum_{i=1}^{n} H_i$ là một iđêan $\mathfrak{c}$, tâm của $sp(2n, K)$; $\mathfrak{b}, \mathfrak{c}$ là các iđêan duy nhất của $a, b = \mathscr{D}(\mathfrak{sp}(2n, K))$ và $b/c$ là đơn. (Cùng phương pháp.) Các iđêan của $\mathfrak{sp}(4, K)$ là gì khi K có đặc số 2?