Exercice 25, § 6

Groupes et algèbres de Lie, I

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soit K un corps de caractéristique quelconque p. On désigne par sp(2n, K) l’algèbre de Lie du groupe symplectique formel à 2n variables sur K (§ 1, exerc. 26 c)). Montrer que cette algèbre de Lie, qui s’identifie à une sous-algèbre de gl(2n, K), a une base formée des éléments

H_i = E_{ii} - E_{i+n, i+n} \quad (1 \leq i \leq n), F_{ij} = E_{ij} - E_{j+n, i+n} \quad (1 \leq i, j \leq n, i \neq j), G'_{ij} = E_{i, j+n} + E_{j, i+n}, \quad G''_{ij} = E_{i+n, j} + E_{j+n, i} \quad (1 \leq i < j \leq n), E_{i, i+n} \text{ et } E_{i+n, i} \quad (1 \leq i \leq n).

a) Montrer que, si p ≠ 2, et n ≥ 1, l’algèbre sp(2n, K) est simple (pour n = 1, sp(2, K) = sl(2, K)). (Même méthode que dans l’exerc. 24.)

b) Si p = 2, et n ≥ 3, montrer que les $H_i, F_{ij}, G'_{ij}$ et $G''_{ij}$ forment un idéal a de dimension n(2n − 1) ; les éléments de a de la forme

\sum_{i=1}^{n} \lambda_i H_i + \sum_{i \neq j} \alpha_{ij} F_{ij} + \sum_{i < j} \beta_{ij} G'_{ij} + \sum_{i < j} \gamma_{ij} G''_{ij}

tels que $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 0$ forment un idéal b ⊂ a de dimension n(2n − 1) − 1, les multiples de $\sum_{i=1}^{n} H_i$ un idéal c, centre de sp(2n, K) ; b, c sont les seuls idéaux de a, b = $\mathscr{O}(sp(2n, K))$ , et b/c est simple. (Même méthode.) Quels sont les idéaux de sp(4, K) lorsque K est de caractéristique 2 ?

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