Bài tập 7, § 6

(a) Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie, $\mathfrak{h}$ là một iđêan nửa đơn của $\mathfrak{g}$ và $\mathfrak{a}$ là toán tử giao hoán của $\mathfrak{h}$ trong $\mathfrak{g}$, sao cho $\mathfrak{g}$ được đồng nhất với $\mathfrak{h} \times \mathfrak{a}$. Chứng minh rằng, đối với mọi iđêan $\mathfrak{t}$ của $\mathfrak{g}$, ta có $\mathfrak{t} = (\mathfrak{t} \cap \mathfrak{h}) \times (\mathfrak{t} \cap \mathfrak{a})$. (Gọi $\mathfrak{t}_1$ là phép chiếu chính tắc của $\mathfrak{t}$ lên $\mathfrak{h}$; nó là một iđêan của $\mathfrak{h}$ và do đó $D\mathfrak{t}_1 = \mathfrak{t}_1$; suy ra rằng $\mathfrak{t}_1 \subset \mathfrak{t}$.) (b) Cho $\beta$ là một dạng song tuyến tính bất biến trên $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{h}$ và $\mathfrak{a}$ trực giao đối với $\beta$ (sử dụng sự kiện rằng $\mathfrak{h} = D\mathfrak{h}$ và rằng $\beta = \beta_1 + \beta_2$, trong đó $\beta_1$ (tương ứng $\beta_2$) là một dạng song tuyến tính bất biến mà hạn chế của nó lên $\mathfrak{a}$ (tương ứng $\mathfrak{h}$) là không. (c) Suy ra từ (a) rằng tồn tại trong $\mathfrak{g}$ một iđêan nửa đơn lớn nhất. (Xét một iđêan nửa đơn cực đại của $\mathfrak{g}$.)