Exercice 7, § 6

a) Soient $g$ une algèbre de Lie, $h$ un idéal semi-simple de $g$, $a$ le commutant de $h$ dans $g$, de sorte que $g$ s’identifie à $h \times a$. Montrer que, pour tout idéal $f$ de $g$, on a $f = (f \cap h) \times (f \cap a)$. (Soit $f_1$ la projection canonique de $f$ sur $h$; c’est un idéal de $h$, donc $\mathscr{O}f_1 = f_1$; en déduire que $f_1 \subset f$.)

b) Soit $\beta$ une forme bilinéaire invariant sur $g$. Montrer que $h$ et $a$ sont orthogonaux pour $\beta$ (utiliser le fait que $h = \mathscr{O}h$), et que $\beta = \beta_1 + \beta_2$, où $\beta_1$ (resp. $\beta_2$) est une forme bilinéaire invariant dont la restriction à $a$ (resp. $h$) est nulle.

c) Déduire de a) qu’il existe dans $g$ un plus grand idéal semi-simple. (Considérer un idéal semi-simple maximal de $g$.)