Bourbaki

§ 7. Định lý ado

Nhắc lại rằng KK ký hiệu một trường có đặc số 0 và mọi đại số Lie đều được giả thiết là hữu hạn chiều trên KK.

1. Các hệ số của một biểu diễn

Cho U là một đại số kết hợp có phần tử đơn vị trên K, U* là đối ngẫu của không gian vectơ U và ρ\rho là một biểu diễn của U trên một không gian vectơ E. Với e∈Ee \in E và e′∈E∗e' \in E^*, gọi θ(e,e′)∈U∗\theta(e, e') \in U^* là hệ số tương ứng của ρ\rho (Đại số, Chương VIII, § 13, no. 3). Nhắc lại rằng θ(e,e′)(x)=⟨ρ(x)e,e′⟩\theta(e, e')(x) = \langle \rho(x)e, e' \rangle và rằng ánh xạ e↦θ(e,e′)e \mapsto \theta(e, e') với e′e' cố định là một đồng cấu của U-môđun E vào U-môđun U* của biểu diễn đối chính quy của U (loc. cit., Mệnh đề 1); do đó không gian con vectơ của U* sinh bởi các hệ số của ρ\rho (một không gian con mà trong đoạn này chúng ta sẽ ký hiệu là C(ρ)C(\rho)) là một dưới-U-môđun của U*. Nếu (ei′)i∈I(e'_i)_{i \in I} là một họ các phần tử sinh ra E* trên K, thì ánh xạ e↦(θ(e,ei′))e \mapsto (\theta(e, e'_i)) là một U-đồng cấu đơn ánh của E vào C(ρ)IC(\rho)^I; vì θ(e,ei′)=0\theta(e, e'_i) = 0 với mọi ii suy ra ⟨e,ei′⟩=⟨ρ(1)e,ei′⟩=θ(e,ei′)(1)=0\langle e, e'_i \rangle = \langle \rho(1)e, e'_i \rangle = \theta(e, e'_i)(1) = 0 với mọi ii và do đó e=0e = 0.

Đặc biệt, nếu U là đại số bao của một đại số Lie g và ρ\rho là một biểu diễn của g (đồng nhất với một biểu diễn của U) trên một không gian vectơ E chiều n, thì g-môđun E đẳng cấu với một g-môđun con của (C(ρ))n(C(\rho))^n.

2. Định lý mở rộng

Cho g=h+g′g = h + g' là một đại số Lie là tổng trực tiếp của một iđêan g′g' và một đại số con hh, U là đại số bao của g và U′⊂UU' \subset U là đại số bao của g′g'. Tồn tại một và chỉ một cấu trúc môđun trên U′U' sao cho: (α) với x∈g′x \in g' và u∈U′u \in U', xU′u=−uxx_{U'}u = -ux; (β) với x∈hx \in h và u∈U′u \in U', xU′u=xu−uxx_{U'}u = xu - ux (phần tử sau này chắc chắn thuộc U′U' vì đạo hàm nội của U được định nghĩa bởi x giữ ổn định g′g' và do đó giữ ổn định U′U'). Các điều kiện (α) và (β) xác định duy nhất một ánh xạ tuyến tính x↦xU′x \mapsto x_{U'} từ g vào LK(U′)\mathscr{L}_K(U'). Do đó chỉ cần kiểm tra rằng [x,y]U′=[xU′,yU′][x, y]_{U'} = [x_{U'}, y_{U'}]; chỉ cần xét các trường hợp sau:

(1) x∈g′,y∈g′x \in g', y \in g': khi đó

[x,y]U′u=−u(xy−yx)=(xU′yU′−yU′xU′)u; [x, y]_{U'}u = -u(xy - yx) = (x_{U'}y_{U'} - y_{U'}x_{U'})u;

(2) x∈h,y∈g′x \in h, y \in g': khi đó

[x,y]U′u=−u(xy−yx)=x(−uy)−(−uy)x+(xu−ux)y=(xU′yU′−yU′xU′)u; [x, y]_{U'}u = -u(xy - yx) = x(-uy) - (-uy)x + (xu - ux)y \\ = (x_{U'}y_{U'} - y_{U'}x_{U'})u;

(3) x∈h,y∈hx \in h, y \in h: khi đó [x,y]U′[x, y]_{U'} và [xU′,yU′][x_{U'}, y_{U'}] là hai đạo hàm của U′U' mà các hạn chế của chúng lên g′g' trùng nhau với các hạn chế của adg[x,y]\mathrm{ad}_g[x, y] và [adgx,adgy][\mathrm{ad}_g x, \mathrm{ad}_g y]; do đó các đạo hàm này bằng nhau.

Ta cũng sẽ xét biểu diễn đối ngẫu x↦txU′x \mapsto {}^t x_{U'} của g trên U′∗{U'}^*. Với x∈g′x \in g', txU′{}^t x_{U'} là chuyển vị của phép nhân phải bởi x trong U′U'; do đó biểu diễn tương ứng của U′U' là biểu diễn đối chính quy của U′U'.

Định nghĩa 1

Cho gg là một đại số Lie, g′g' là một đại số con của gg và ρ′\rho' là một biểu diễn của g′g' trên V′V'. Một biểu diễn ρ\rho của gg trên VV được gọi là một mở rộng của ρ′\rho' lên gg nếu tồn tại một đồng cấu đơn cấu của g′g'-môđun vào g′g'-môđun VV. Ta cũng nói rằng gg-môđun VV là một mở rộng của g′g'-môđun V′V'.

Nếu ρ′\rho' là hữu hạn chiều và g′g' là một iđêan giải được của gg, thì điều kiện cần để tồn tại một mở rộng hữu hạn chiều là [g,g′][g, g'] được chứa trong iđêan lũy linh lớn nhất của ρ′\rho' (§ 5, no. 3, Định lý 1).

Định lý 1 (Zassenhaus)

Cho g=g′+hg = g' + h là một đại số Lie là tổng trực tiếp của một iđêan g′g' và một đại số con hh, và ρ′\rho' là một biểu diễn hữu hạn chiều của g′g' mà iđêan lũy linh lớn nhất của nó chứa [h,g′][h, g'].

(a) Tồn tại một mở rộng hữu hạn chiều ρ\rho của ρ′\rho' lên gg mà iđêan lũy linh lớn nhất của nó chứa iđêan lũy linh lớn nhất của ρ′\rho'.

(b) Nếu với mọi x∈hx \in h thì hạn chế lên g′g' của ad⁡gx\operatorname{ad}_gx là lũy linh, có thể chọn ρ\rho sao cho hơn nữa iđêan lũy linh lớn nhất của ρ\rho chứa hh.

Cho U′U' là đại số bao của g′g'. Giả sử U′U' và U′∗{U'}^* có các cấu trúc gg-môđun được xác định ở đầu no này.

U′∗Cho I⊂U′ laˋ hạt nhaˆn của ρ′ (đoˆˋng nhaˆˊt với một biểu dieˆ˜n của U′). Noˊ laˋ một iđeˆan hai phıˊa của U′ coˊ đoˆˊi chieˆˋu hữu hạn. Khoˆng gian con C(ρ′) của U′∗ (x. no. 1) trực giao với I. Cho S laˋ moˆđun con-g của U′∗ được sinh bởi C(ρ′).C(ρ′) \begin{array}{ll} {U'}^* & \text{Cho } I \subset U' \text{ là hạt nhân của } \rho' \text{ (đồng nhất với một biểu diễn của } U'). \text{ Nó là một iđêan hai phía của } U' \text{ có đối chiều hữu hạn. Không gian con } C(\rho') \text{ của } {U'}^* \text{ (x. no. 1) trực giao với } I. \text{ Cho } S \text{ là môđun con-} g \text{ của } {U'}^* \text{ được sinh bởi } C(\rho'). \\ C(\rho') \end{array}

Bây giờ ta chỉ ra rằng SS là hữu hạn chiều trên KK. Gọi V′V' là không gian mà trên đó ρ′\rho' tác động và V′=V0′⊃V1′⊃⋯⊃Vd′={0}V' = V'_0 \supset V'_1 \supset \cdots \supset V'_d = \{0\} là một chuỗi Jordan-Hölder của g′g'-môđun V′V'. Gọi ρi′\rho'_i là biểu diễn của g′g' trên Vi−1′/Vi′V'_{i-1}/V'_i dẫn xuất từ ρ′\rho' (1≤i≤d1 \leq i \leq d). Gọi I′⊂U′I' \subset U' là giao của các hạt nhân của các ρi′\rho'_i (được đồng nhất với các biểu diễn của U′U'). Khi đó

I′d⊂I⊂I′ {I'}^d \subset I \subset I'

và I′∩g′I' \cap g' là iđêan lũy linh lớn nhất của ρ′\rho'. Theo § 2, no. 6, Hệ quả của Mệnh đề 6, I′d{I'}^d có đối chiều hữu hạn trong U′U'. Nếu x∈hx \in h, đạo hàm u↦xu−uxu \mapsto xu - ux của U′U' ánh xạ g′g' vào [h,g′]⊂I′[h, g'] \subset I', do đó ánh xạ U′U' vào I′I' và vì thế ánh xạ I′d{I'}^d vào I′d{I'}^d. Mặt khác, rõ ràng I′d{I'}^d là một dưới-g′g'-môđun của U′U'. Vậy I′d{I'}^d là một dưới-gg-môđun của U′U'. Phần trực giao của I′d{I'}^d trong U′∗{U'}^* là một dưới-gg-môđun hữu hạn chiều chứa C(ρ′)C(\rho') và do đó chứa SS. Điều này chứng tỏ rằng SS là hữu hạn chiều trên KK. Với x∈I′∩g′x \in I' \cap g', xdx^d hiển nhiên được chứa trong linh hóa tử của gg-môđun U′/I′dU'/{I'}^d và do đó cũng được chứa trong linh hóa tử của gg-môđun SS.

Ta đã thấy ở no. 1 rằng g′g'-môđun V′V' đẳng cấu với một môđun con-g′g' của một tích (C(ρ′))n(C(\rho'))^n. Do đó, gg-môđun SnS^n cho một mở rộng hữu hạn chiều ρ\rho của ρ′\rho' lên gg. Hơn nữa, ρ(x)\rho(x) là lũy linh với x∈I′∩g′x \in I' \cap g'; vì I′∩g′I' \cap g' là một iđêan của gg (do nó chứa [h,g′][h, g'] theo giả thiết), ta thấy rằng I′∩g′I' \cap g' được chứa trong iđêan lũy linh lớn nhất của ρ\rho. Vậy (a) được chứng minh.

Giả sử sau cùng rằng với mọi x∈hx \in h phép hạn chế lên g′g' của adψx\mathrm{ad}_{\psi}x là lũy linh. Vì các phần tử của hh tác động lên U′U' bởi các phép dẫn xuất, nên với mọi u∈U′u \in U' và mọi x∈hx \in h tồn tại một số nguyên ee sao cho (xU′)e.u=0(x_{U'})^e.u = 0; do đó các nội cấu dẫn xuất từ xU′x_{U'} trên U′/I′dU'/{I'}^d và trên SS (là các không gian hữu hạn chiều) đều lũy linh. Vậy ρ(x)\rho(x) là lũy linh với mọi x∈hx \in h. Ta đã thấy trước đó rằng điều này cũng đúng với x∈I′∩g′x \in I' \cap g'. Vì I′∩g′I' \cap g' là một iđêan của g′g' chứa [h,g′][h, g'], nên tổng h+(I′∩g′)h + (I' \cap g') cũng là một iđêan của gg. Mệnh đề (b) của Định lý 1 khi đó suy ra từ bổ đề sau:

Bổ đề 1

Cho g=g′+hg = g' + h là một đại số Lie là tổng của một iđêan g′g' và một đại số con hh. Cho σ\sigma là một biểu diễn hữu hạn chiều của gg. Giả sử rằng σ(x)\sigma(x) là lũy linh với mọi x∈g′x \in g' và mọi x∈hx \in h. Khi đó σ(x)\sigma(x) là lũy linh với mọi x∈gx \in g.

Chuyển qua thương theo hạt nhân của σ\sigma, có thể giả sử σ\sigma là trung thành. Khi đó g′g' và hh là lũy linh và do đó gg, là một mở rộng của một thương của hh bởi g′g', là giải được. Khi đó hh và g′g' được chứa trong iđêan lũy linh lớn nhất của σ\sigma (§ 5, no. 3, Hệ quả 6 của Định lý 1).

Để có một cải tiến của Định lý 1, xem Bài tập 4.

3. Định lý ado

Mệnh đề 1

Cho gg là một đại số Lie, nn là iđêan lũy linh lớn nhất của nó, aa là một iđêan lũy linh của gg và ρ\rho là một biểu diễn hữu hạn chiều của aa sao cho mọi phần tử của ρ(a)\rho(a) đều lũy linh. Khi đó ρ\rho có một mở rộng hữu hạn chiều σ\sigma lên gg sao cho mọi phần tử của σ(n)\sigma(n) đều lũy linh.

Cho a=n0⊂n1⊂⋯⊂np=na = n_0 \subset n_1 \subset \cdots \subset n_p = n là một dãy các đại số con của nn sao cho ni−1n_{i-1} là một iđêan của nin_i có đối chiều 1 với 1≤i≤p1 \leq i \leq p (§ 4, no. 1, Mệnh đề 1 (e)). Do đó đại số nin_i là tổng trực tiếp của ni−1n_{i-1} và một đại số con 1-chiều. Vì adnx\mathrm{ad}_{n}x là lũy linh với mọi x∈nx \in n, nên có thể tìm được lần lượt các mở rộng hữu hạn chiều ρ1,ρ2,…,ρp=ρ′\rho_1, \rho_2, \ldots, \rho_p = \rho' của ρ\rho lên n1,n2,…,np=nn_1, n_2, \ldots, n_p = n sao cho mọi phần tử của ρ′(n)\rho'(n) đều lũy linh.

Gọi rr là căn của gg và gọi n=r0⊂r1⊂⋯⊂rq=rn = r_0 \subset r_1 \subset \cdots \subset r_q = r là một dãy các đại số con của rr sao cho ri−1r_{i-1} là một iđêan của rir_i có đối chiều 1 với 1≤i≤q1 \leq i \leq q (§ 5, no. 1, Mệnh đề 2 (d)). Do đó đại số rir_i là tổng trực tiếp của ri−1r_{i-1} và một đại số con một chiều. Vì [r,r]⊂n[r, r] \subset n, nên có thể (Định lý 1) tìm lần lượt các mở rộng hữu hạn chiều ρ1′,ρ2′,…,ρq′=ρ′′\rho'_1, \rho'_2, \ldots, \rho'_q = \rho'' của ρ′\rho' lên r1,r2,…,rq=rr_1, r_2, \ldots, r_q = r sao cho mọi phần tử của ρ′′(n)\rho''(n) đều lũy linh.

Cuối cùng gg là tổng trực tiếp của rr và một đại số con ss (§ 6, no. 8, Định lý 5). Vì [s,r]⊂n[s, r] \subset n, nên có thể (Định lý 1) tìm được một mở rộng hữu hạn chiều σ\sigma của ρ′′\rho'' lên gg sao cho mọi phần tử của σ(n)\sigma(n) đều lũy linh.

Định lý 2

Mọi đại số Lie đều có một biểu diễn tuyến tính trung thành hữu hạn chiều.

Chính xác hơn:

Định lý 3 (Ado)

Cho gg là một đại số Lie và nn là iđêan lũy linh lớn nhất của nó. Tồn tại một biểu diễn trung thành hữu hạn chiều φ\varphi của gg sao cho mọi phần tử của φ(n)\varphi(n) đều lũy linh.

Đại số Lie hữu hạn chiều KK chấp nhận các biểu diễn trung thành hữu hạn chiều τ\tau sao cho mọi phần tử của τ(K)\tau(K) đều lũy linh, ví dụ biểu diễn

λ↦(00λ0). \lambda \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \lambda & 0 \end{pmatrix}.

Dễ dàng suy ra rằng tâm cc của gg, là một tích của các đại số 1-chiều, có một biểu diễn trung thành hữu hạn chiều σ\sigma sao cho mọi phần tử của σ(c)\sigma(c) đều lũy linh. Cho σ1\sigma_1 là một mở rộng hữu hạn chiều của σ\sigma lên gg sao cho mọi phần tử của σ1(n)\sigma_1(n) đều lũy linh (Mệnh đề 1); nếu kk ký hiệu hạt nhân của σ1\sigma_1, thì k∩c={0}k \cap c = \{0\}. Mặt khác, cho σ2\sigma_2 là biểu diễn kề của gg, có hạt nhân là cc; mọi phần tử của σ2(n)\sigma_2(n) đều lũy linh. Tổng trực tiếp ρ\rho của σ1\sigma_1 và σ2\sigma_2 là hữu hạn chiều; mọi phần tử của ρ(n)\rho(n) đều lũy linh; và hạt nhân của ρ\rho, được chứa trong kk và trong cc, là không, do đó ρ\rho là trung thành.

Bài tập

Các quy ước của § 7 vẫn còn hiệu lực trừ khi có nói khác.

Xem các bài tập của § 7.

Machine translation of the English, by gpt-5.4, copied, against glossary version 34. Not checked by a person.