Bài tập 11, § 1

Cho E là một đại số bialgebra và cho I là một tập hợp hữu hạn. Ta được cho một cơ sở $(e_\alpha)$ của E được đánh chỉ số bởi các phần tử $\alpha$ của $\mathbf{N}^I$ và sao cho: (i) $e_0 = 1$; (ii) $c(e_\gamma) = \sum_{\alpha + \beta = \gamma} e_\alpha \otimes e_\beta$ với mọi $\gamma \in \mathbf{N}^I$.

Điều kiện (ii) suy ra rằng E đẳng cấu như một đại số đối với đại số đối $TS(K^I)$ của các tenxơ đối xứng của $K^I$ (xem Đại số, Chương IV, § 5, no. 7).

(a) Cho $E' = \mathrm{Hom}(E, K)$ là đại số đối ngẫu của E và cho $\Lambda = K[[((X_i)_{i \in I})]]$ là đại số các chuỗi lũy thừa hình thức theo các bất định $X_i$ được đánh chỉ số bởi I. Với mọi $u \in E'$ cho $\phi_u$ là chuỗi lũy thừa hình thức

trong đó $x_\alpha = \prod_{i \in I} X_i^{\alpha(i)}$.

Chứng minh rằng $u \mapsto \phi_u$ là một đẳng cấu từ $E'$ lên $\Lambda$ và rằng đẳng cấu này biến tôpô hội tụ đơn giản trên $E'$ thành tôpô tích trên $\Lambda$.

(b) Cho $c_{\alpha \beta \gamma}$ là các hằng số cấu trúc của đại số E đối với cơ sở $(e_\alpha)$. Khi đó

Ta viết $x$ thay cho $(X_i)_{i \in I}$ và $y$ thay cho $(Y_i)_{i \in I}$, trong đó các $Y_i$ là các bất định mới. Chứng minh rằng tồn tại một họ $f(x, y) = (f_i(x, y))_{i \in I}$ các chuỗi lũy thừa hình thức theo các biến $x, y$ sao cho

trong đó, như trên, ta viết $x^\alpha = \prod_i X_i^{\alpha(i)}$ và tương tự cho $y^\beta$ và $f(x, y)^\gamma$.

Chứng minh rằng $f(x, y)$ là một luật nhóm hình thức trên K có chiều $n = \mathrm{Card}(I)$, theo nghĩa của Chương I, § 1, Bài tập 24†; định nghĩa một đẳng cấu đại số Lie của luật nhóm hình thức này lên đại số Lie $P(E)$, có cơ sở là các $e_\alpha$ với $|\alpha| = 1$.

(c) Ngược lại, chứng minh rằng mọi luật nhóm hình thức trên K theo các $x$ và $y$ đều có thể thu được bằng thủ tục trên, thủ tục này là duy nhất sai khác một đẳng cấu.

(d) Khi K là một đại số $\mathbf{Q}$, áp dụng điều trên cho đại số bialgebra bao quanh của một đại số Lie $g$ có một cơ sở hữu hạn trên K. Suy ra sự tồn tại (và tính duy nhất, sai khác một đẳng cấu) của một luật nhóm hình thức có $g$ làm đại số Lie.

(e) Cho một cách tường minh đại số bialgebra tương ứng với luật nhóm hình thức một tham số $f(x, y) = x + y$ (tương ứng $f(x, y) = x + y + xy$).