Exercice 11, § 1

Soit $E$ une bigèbre, et soit $I$ un ensemble fini. On se donne une base $(e_\alpha)$ de $E$, indexée par les éléments $\alpha$ de $\mathbf{N}^I$, et telle que: (i) $e_0 = 1$; (ii) $c(e_\gamma) = \sum_{\alpha + \beta = \gamma} e_\alpha \otimes e_\beta$ pour tout $\gamma \in \mathbf{N}^I$. La condition (ii) entraîne que $E$ est isomorphe, en tant que cogèbre, à la cogèbre $TS(K^I)$ des tenseurs symétriques de $K^I$ (cf. A, IV, § 5, n° 7, n^{e}lle édition). a) Soit $E' = \operatorname{Hom}(E, K)$ l’algèbre duale de $E$, et soit $\Lambda = K[[\{X_t\}_{t \in I}]]$ l’algèbre des séries formelles en des indéterminées $X_t$ indexées par $I$. Pour tout $u \in E'$, soit $\varphi_u$ la série formelle

où $x^\alpha = \prod_{t \in I} X_t^{\alpha(t)}$. Montrer que $u \mapsto \varphi_u$ est un isomorphisme de $E'$ sur $\Lambda$ et que cet isomorphisme transforme la topologie de la convergence simple sur $E'$ en la topologie produit de $\Lambda$. b) Soient $c_{\alpha \beta \gamma}$ les constantes de structure de l’algèbre $E$ relativement à la base $(e_\alpha)$. On a Ecrivons $x$ au lieu de $(X_t)_{t \in I}$, et $y$ au lieu de $(Y_t)_{t \in I}$, les $Y_t$ étant de nouvelles indéterminées. Montrer qu’il existe une famille $f(x, y) = (f_t(x, y))_{t \in I}$ de séries formelles en les variables $x, y$ telle que en posant, comme ci-dessus, $x^\alpha = \prod_t X_t^{\alpha(t)}$ et de même pour $y^\beta$ et $f(x, y)^\gamma$. Montrer que $f(x, y)$ est une loi de groupe formel sur $K$, de dimension $n = \operatorname{Card}(I)$, au sens du chap. I, § 1, exerc. 24¹; définir un isomorphisme de l’algèbre de Lie de cette loi de groupe formel sur l’algèbre de Lie $P(E)$, qui a pour base les $e_\alpha$ avec $|\alpha| = 1$. c) Inversement, montrer que toute loi de groupe formel sur $K$ en les $x$ et $y$ peut être obtenue par le procédé ci-dessus, et de façon unique à isomorphisme près.

¹ L’exercice en question suppose que K est un corps, mais il n’y a rien à changer si l’on supprime cette hypothèse.

d) Lorsque K est une Q-algèbre, appliquer ce qui précède à la bigèbre enveloppante d’une algèbre de Lie g ayant une base finie sur K. En déduire l’existence (et l’unicité, à isomorphisme près) d’une loi de groupe formel ayant g pour algèbre de Lie. e) Expliciter la bigèbre correspondant à la loi de groupe formel à un paramètre $f(x, y) = x + y$ (resp. $f(x, y) = x + y + xy$).