Bài tập 3, § 1

Cho G là một nửa nhóm và E = K[G] là đại số của nó (Đại số, Chương III, § 2, no. 6). (a) Chứng minh rằng trên E tồn tại duy nhất một cấu trúc đối đại số sao cho c(g) = g \otimes g với mọi g \in G; cấu trúc này tương thích với cấu trúc đại số trên E và biến E thành một đối đại số song giao hoán có đồng đơn vị \varepsilon sao cho \varepsilon(g) = 1 với mọi g \in G. (b) Chứng minh rằng mọi phần tử nguyên thủy của E đều bằng không. Suy ra rằng, nếu G \neq \{e\}, đối đại số E không nhận một lọc tương thích với cấu trúc đối đại số của nó (áp dụng Bài tập 2). (c) Giả sử rằng K là một miền nguyên. Chứng minh rằng các phần tử của G là các phần tử khác không duy nhất x \in E sao cho c(x) = x \otimes x. Chứng minh rằng E có một phép nghịch đảo i (xem Đại số, Chương III, § 11, Bài tập 4) khi và chỉ khi G là một nhóm và trong trường hợp đó i(g) = g^{-1} với mọi g \in G.