Exercice 3, § 1

Soit G un monoïde et soit E = K[G] son algèbre (A, III, p. 19). a) Montrer qu’il existe sur E une structure de cogèbre et une seule telle que c(g) = g \otimes g pour tout g \in G; cette structure est compatible avec la structure d’algèbre de E et fait de E une bigèbre cocommutative dont la coïunité \varepsilon est telle que \varepsilon(g) = 1 pour tout g \in G. b) Montrer que tout élément primitif de E est nul. En déduire que, si G \neq \{e\}, la bigèbre E n’admet aucune filtration compatible avec sa structure de bigèbre (appliquer l’exerc. 2). c) On suppose K intègre. Montrer que les éléments de G sont les seuls éléments x \in E non nuls tels que c(x) = x \otimes x. Montrer que E possède une inversion i (cf. A, III, p. 198, exerc. 4) si et seulement si G est un groupe, et que l’on a alors i(g) = g^{-1} pour tout g \in G.