Bài tập 7, § 1

Giả sử rằng K là một trường. Cho E là một đối đại số thỏa mãn các điều kiện sau: (i) E là đối giao hoán; (ii) E có một phép nghịch đảo (Đại số, Chương III, § 11, Bài tập 4); (iii) $P(E) = \{0\}$; (iv) E có hạng hữu hạn trên K. Gọi $E'$ là đại số đối ngẫu trên K của đối đại số E. Gọi G là tập hợp các phần tử $g \in E$ sao cho $\varepsilon(g) = 1$ và $c(g) = g \otimes g$; nó là một nhóm (xem Bài tập 4). (a) Cho $g \in G$ và gọi $m_g$ là hạt nhân của đồng cấu $u \mapsto u(g)$ của $E'$ vào K. Chứng minh rằng $m_g = m_g^2$ (rút gọn về trường hợp $g = 1$ bằng cách sử dụng Bài tập 6; sau đó áp dụng Bài tập 5). (b) Giả sử rằng K đóng đại số. Chứng minh rằng các iđêan $m_g$ là các iđêan cực đại duy nhất của $E'$; suy ra rằng giao của chúng là $\{0\}$, rằng $E'$ được đồng nhất với tích $K^G$ và rằng E được đồng nhất với đối đại số $K[G]$ của nhóm hữu hạn G (xem Bài tập 3).