Exercice 7, § 1

On suppose que K est un corps. Soit E une bigèbre satisfaisant aux conditions suivantes: (i) E est cocommutative; (ii) E possède une inversion (A, III, p. 198, exerc. 4); (iii) P(E) = {0}; (iv) E est de rang fini sur K. On note E’ la K-algèbre duale de la cogèbre E. On note G l’ensemble des éléments g \in E tels que \varepsilon(g) = 1 et c(g) = g \otimes g; c’est un groupe (cf. exerc. 4). a) Soit g \in G, et soit m_g le noyau de l’homomorphisme u \mapsto u(g) de E’ dans K. Montrer que l’on a m_g = m_g^2 (se ramener au cas g = 1 en utilisant l’exerc. 6; puis appliquer l’exerc. 5).

b) On suppose K algébriquement clos. Montrer que les idéaux $m_g$ sont les seuls idéaux maximaux de $E'$; en déduire que leur intersection est réduite à 0, que $E'$ s’identifie au produit $K^G$ et que $E$ s’identifie à la bigèbre $K[G]$ du groupe fini $G$ (cf. exerc. 3).