Bài tập 3, § 6

Let $M(U, V) = H(-U, U + V)$. Khi đó

Kí hiệu $M_1(U, V)$ (tương ứng $H_1(U, V)$) là tổng của các số hạng song thuần của chuỗi $M$ (tương ứng $H$) có bậc theo $V$ bằng 1.

(a) Chứng minh rằng

trong đó $f(T) = (1 - e^{-T})/T$.

(Lập luận tương tự như trong chứng minh của Mệnh đề 5. Cũng có thể quy về Mệnh đề 5 bằng cách sử dụng đồng nhất thức

cùng với Bài tập 1.)

(b) Chứng minh rằng $H(U, M(U, V)) = U + V$. Suy ra rằng

(c) Cho $g(T) = 1/f(T) = 1 + T/2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} b_{2n} T^{2n}$, trong đó các $b_{2n}$ là các số Bernoulli (Functions of a Real Variable, Chương VI, § 1, no. 4). Chứng minh rằng Suy ra một vài số hạng đầu tiên của khai triển của $H_1(U, V)$: (d) Chứng minh rằng tổng của các số hạng song thuần của $H(U, V)$ có bậc theo $U$ bằng 1 là chuỗi: (Áp dụng (c) cho $H(V, U)$ và dùng Bài tập 2 để chuyển từ $H(V, U)$ sang $H(U, V)$.) (e) Cho $W$ là một bất định khác và cho $X(U, V, W)$ là tổng của các số hạng tam thuần của $H(U, V + W)$ có bậc theo $W$ bằng 1. Chứng minh rằng (Dùng đồng nhất thức $H(U, H(V, W)) = H(H(U, V), W)$.) Suy ra rằng § 4. Cho $X$ là một tập hợp hữu hạn và cho $\hat{L} = \hat{L}(X)$. Ta trang bị cho $\hat{L}$ luật hợp thành Hausdorff $(a, b) \mapsto a \mathbf{H} b$, mà ta kí hiệu đơn giản là $a.b$. Nếu $t \in K$, $a \in \hat{L}$, ta viết $a^t = ta$. (a) Cho $\mathscr{H}$ là một tập hợp Hall đối với $X$. Nếu $m \in \mathscr{H}$, kí hiệu $m_L$ là phần tử tương ứng của đại số Lie $L(X)$ (§ 2, no. 11) và $m_{\mathscr{H}}$ là giao hoán tử cơ bản của nhóm $\hat{L}$ được xác định bởi $m$ (§ 5, no. 4, Nhận xét). Nếu $m$ có độ dài $l$, chứng minh rằng $m_{\mathscr{H}} = m_L + \mu$, trong đó $\mu$ có lọc $\geqslant l + 1$ (lập luận bằng quy nạp theo $l$). Suy ra rằng mọi phần tử $w$ của nhóm $\hat{L}$ có thể được viết duy nhất dưới dạng

trong đó $\alpha(m) \in K$ và tích là hội tụ trong nhóm tôpô $\hat{L}$.

(b) Cho $P$ là tập hợp các số nguyên tố và cho $c$ là một số nguyên $\geqslant 1$. Cho $K = \mathbf{Q}$. Chứng minh rằng nhóm $\hat{L}/\hat{L}_c$ được đồng nhất với $P$-bao $F_P^c$ của nhóm $F^c = F(X)/C^cF(X)$, xem § 5, Bài tập 6.

(c) Lấy $X$ là một tập hợp gồm hai phần tử $\{U, V\}$. Chứng minh sự tồn tại của hai họ $\alpha(m), \beta(m)$ các số hữu tỉ sao cho

Ví dụ

(d) Cho $g$ là một đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh với luật nhóm Hausdorff. Cho $u, v$ thuộc $g$. Chứng minh rằng

trong đó $\alpha$ và $\beta$ là các họ số hữu tỉ được định nghĩa ở trên ("đảo công thức Hausdorff"). (Sử dụng đồng cấu liên tục $\phi : \hat{L} \to g$ sao cho $\phi(U) = u, \phi(V) = v$ và chú ý rằng nó cũng là một đồng cấu đối với luật nhóm Hausdorff.)

(e) Cho $G$ là một nhóm lũy linh chia được không xoắn (nghĩa là $P$-không xoắn và $P$-chia được). Nếu $u \in G, t \in \mathbf{Q}, u^t$ được định nghĩa (§ 4, Bài tập 16). Nếu $u \in G, v \in G$, ta định nghĩa $u + v$ và $[u, v]$ bởi các công thức của (d) ở trên. Chứng minh rằng $G$ khi đó có một cấu trúc đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh và luật Hausdorff tương ứng là luật nhóm đã cho trên $G$ (kiểm tra các khẳng định này khi $G$ là một nhóm $F_P^c$, xem (b), và chuyển từ trường hợp này sang trường hợp tổng quát bằng cách sử dụng các đồng cấu từ $F_P^c$ vào $G$).

Cho $f$ là một ánh xạ từ $G$ vào một nhóm lũy linh chia được không xoắn $G'$. Chứng minh rằng $f$ là một đồng cấu (nhóm) khi và chỉ khi nó là một đồng cấu đại số Lie. (Do đó luật Hausdorff xác định một đẳng cấu của "phạm trù" các đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh lên phạm trù các nhóm lũy linh chia được không xoắn.)

5. Cho $g$ là một đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh mà ta trang bị luật nhóm Hausdorff, được ký hiệu bởi $(x, y) \mapsto x.y$.

(a) Chứng minh rằng, nếu $x \in g, y \in g$, thì

(Sử dụng Bài tập 2.)

(b) Cho $\mathfrak{h}$ là một tập con của $g$. Chứng minh rằng $\mathfrak{h}$ là một đại số con Lie (tương ứng, một iđêan) của $g$ khi và chỉ khi nó là một nhóm con bão hòa (tương ứng, một nhóm con chuẩn bão hòa) của nhóm $g$. (Sử dụng các công thức của Bài tập 4 (d) để chuyển từ luật nhóm sang luật đại số Lie.)

(c) Cho $\mathfrak{h}$ là một nhóm con của nhóm $g$. Chứng minh rằng bao hòa $\mathbf{P}$ của $\mathfrak{h}$ là $\mathbf{Q}.\mathfrak{h}$.

(d) Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Lie của $g$. Chứng minh rằng tâm hóa (tương ứng, chuẩn hóa) của $\mathfrak{h}$ trong nhóm $g$ là tập hợp các $x \in g$ sao cho $(\mathrm{ad}\, x)(\mathfrak{h}) = 0$ (tương ứng, $(\mathrm{ad}\, x)(\mathfrak{h}) \subset \mathfrak{h}$).

(e) Chứng minh rằng chuỗi trung tâm dưới của đại số Lie $g$ trùng với chuỗi đó của nhóm $g$ và rằng đại số Lie phân bậc liên kết $\mathrm{gr}(g)$ là như nhau theo quan điểm "nhóm" cũng như theo quan điểm "đại số Lie".

¶ 6. Cho $G$ là một nhóm lũy linh không xoắn sinh hữu hạn. Chứng minh rằng, nếu $n$ đủ lớn, $G$ có thể nhúng được vào nhóm tam giác dưới ngặt cấp $n$ trên $\mathbf{Z}$. (Cho $(i, \overline{G})$ là một bao $\mathbf{P}$ của $G$, cf. § 5, Bài tập 6; với cấu trúc đại số Lie chính tắc của nó (Bài tập 4), $\overline{G}$ là một đại số Lie $\mathbf{Q}$ lũy linh hữu hạn chiều. Áp dụng Định lý Ado (Chương I, § 7) cho $\overline{G}$ và suy ra một phép nhúng của $\overline{G}$ vào một nhóm tam giác ngặt trên $\mathbf{Q}$. Chuyển từ $\mathbf{Q}$ sang $\mathbf{Z}$ bằng cách liên hợp bởi một ma trận đường chéo nguyên thích hợp.)