Exercice 3, § 6

On pose $M(U, V) = H(-U, U + V)$. On a $\exp(M(U, V)) = \exp(-U) . \exp(U + V)$. On note $M_1(U, V)$ (resp. $H_1(U, V)$) la somme des termes bihomogènes de la série $M$ (resp. de la série $H$) dont le degré en $V$ est 1. a) Montrer que l’on a

avec $f(T) = (1 - e^{-T})/T$. (Même argument que pour la démonstration de la prop. 5. On peut aussi se ramener à la prop. 5 en utilisant l’identité combinée avec l’exerc. 1.) b) Montrer que $H(U, M(U, V)) = U + V$. En déduire que $H_1(U, M_1(U, V)) = V$. c) On pose $g(T) = 1/f(T) = 1 + T/2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} b_{2n} T^{2n}$, où les $b_{2n}$ sont les nombres de Bernoulli (FVR, VI, § 1, n° 4). Montrer que l’on a En déduire les premiers termes du développement de $H_1(U, V)$: d) Montrer que la somme des termes bihomogènes de $H(U, V)$ dont le degré en $U$ est 1 est la série: (Appliquer c) à $H(V, U)$ et utiliser l’exerc. 2 pour passer de $H(V, U)$ à $H(U, V)$.) e) Soit $W$ une autre indéterminée, et soit $X(U, V, W)$ la somme des termes trihomogènes de $H(U, V + W)$ dont le degré en $W$ est 1. Montrer que l’on a (Utiliser l’identité $H(U, H(V, W)) = H(H(U, V), W)$.) En déduire que

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