Phụ lục

Các phép toán trên các biểu diễn tuyến tính

Cho G là một nhóm, k là một trường giao hoán, E_1, E_2, ..., E_n là các không gian vectơ trên k và π_i là một biểu diễn tuyến tính của G trên E_i (1 ≤ i ≤ n). Ánh xạ

g \mapsto \pi_1(g) \otimes \cdots \otimes \pi_n(g)

là một ánh xạ tuyến tính của G vào không gian vectơ E_1 ⊗ ... ⊗ E_n, được gọi là tích tenxơ của π_1, ..., π_n và được ký hiệu bởi π_1 ⊗ ... ⊗ π_n.

Cho E là một không gian vectơ trên k và π là một biểu diễn tuyến tính của G trên E. Với mọi g ∈ G, gọi τ(g) (tương ứng σ(g), ε(g)) là tự đẳng cấu duy nhất của đại số T(E) (tương ứng S(E), ∧(E)) mở rộng π(g) (Đại số, chương III, § 5, no. 2, § 6, no. 2 và § 7, no. 2). Khi đó τ (tương ứng σ, ε) là một biểu diễn tuyến tính của G trên T(E) (tương ứng S(E), ∧(E)) được ký hiệu bởi T(π) (tương ứng S(π), ∧(π)). Biểu diễn con của T(π) (tương ứng S(π), ∧(π)) xác định bởi T^n(E) (tương ứng S^n(E), ∧^n(E)) được gọi là lũy thừa tenxơ thứ n (tương ứng đối xứng, ngoài) của π và được ký hiệu bởi T^n(π) (tương ứng S^n(π), ∧^n(π)). Khi đó

T^n(\pi) = \pi \otimes \pi \otimes \cdots \otimes \pi

(n thừa số). Các biểu diễn S(π), ∧(π) là các biểu diễn thương của T(π) và do đó S^n(π), ∧^n(π) là các biểu diễn thương của T^n(π).

Cho g là một đại số Lie trên k. Tích tenxơ của một số hữu hạn các biểu diễn của g đã được định nghĩa trong chương I, § 3, no. 2; nó được ký hiệu bởi π_1 ⊗ ... ⊗ π_n. Cho E là một không gian vectơ trên k và π là một biểu diễn của g trên E. Với mọi x ∈ g, gọi τ'(x) (tương ứng σ'(x), ε'(x)) là đạo hàm duy nhất của đại số T(E) (tương ứng S(E), ∧(E)) mở rộng π(x) (Đại số, chương III, § 10, no. 9, Ví dụ 1). Khi đó τ' (tương ứng σ', ε') là một biểu diễn tuyến tính của g trên T(E) (tương ứng S(E), ∧(E)) theo Đại số, loc. cit., công thức (35), được ký hiệu bởi $T(\pi)$ (tương ứng $S(\pi)$ , $\Lambda(\pi)$ ). Biểu diễn con của $T(\pi)$ (tương ứng $S(\pi)$ , $\Lambda(\pi)$ ) xác định bởi $T^n(E)$ (tương ứng $S^n(E)$ , $\Lambda^n(E)$ ) được ký hiệu bởi $T^n(\pi)$ (tương ứng $S^n(\pi)$ , $\Lambda^n(\pi)$ ). Biểu diễn $T^n(\pi)$ là tích tenxơ trên $n$ biểu diễn đồng nhất với $\pi$ . Các biểu diễn $S(\pi)$ , $\Lambda(\pi)$ là các biểu diễn thương của $T(\pi)$ và do đó $S^n(\pi)$ , $\Lambda^n(\pi)$ là các biểu diễn thương của $T^n(\pi)$ .