APPENDICE Opérations sur les représentations linéaires

Soient G un groupe, k un corps commutatif, E₁, E₂, ..., Eₙ des espaces vectoriels sur k, πᵢ une représentation linéaire de G dans Eᵢ (1 ≤ i ≤ n). L’application g ↦ π₁(g) ⊗ ... ⊗ πₙ(g) est une représentation linéaire de G dans l’espace vectoriel E₁ ⊗ ... ⊗ Eₙ, appelée produit tensoriel de π₁, ..., πₙ, et notée π₁ ⊗ ... ⊗ πₙ.

Soient E un espace vectoriel sur k, π une représentation linéaire de G dans E. Pour tout g ∈ G, soit τ(g) (resp. σ(g), ε(g)) l’unique automorphisme de l’algèbre T(E) (resp. S(E), ∧ (E)) qui prolonge π(g) (A, III, p. 57, p. 69 et p. 78). Alors τ (resp. σ, ε) est une représentation linéaire de G dans T(E) (resp. S(E), ∧ (E)) notée T(π) (resp. S(π), ∧ (π)). La sous-représentation de T(π) (resp. S(π), ∧ (π)) définie par Tⁿ(E) (resp. Sⁿ(E), ∧ⁿ(E)) s’appelle la puissance tensorielle (resp. symétrique, extérieure) n-ème de π et se note Tⁿ(π) (resp. Sⁿ(π), ∧ⁿ(π)). On a Tⁿ(π) = π ⊗ π ⊗ ... ⊗ π (n facteurs). Les représentations S(π), ∧ (π) sont des représentations quotients de T(π), donc Sⁿ(π), ∧ⁿ(π) sont des représentations quotients de Tⁿ(π).

Soit g une algèbre de Lie sur k. Le produit tensoriel d’un nombre fini de représentations de g a déjà été défini au chap. I, § 3, n° 2; on le note π₁ ⊗ ... ⊗ πₙ. Soient E un espace vectoriel sur k, π une représentation de g dans E. Pour tout x ∈ g, soit τ'(x) (resp. σ'(x), ε'(x)) l’unique dérivation de l’algèbre T(E) (resp. S(E), ∧ (E)) qui prolonge π(x) (A, III, p. 129, exemple 1). Alors τ' (resp. σ', ε') est une représentation linéaire de g dans T(E) (resp. S(E), ∧ (E)) d’après A, loc. cit., formule (35), notée T(π) (resp. S(π), ∧ (π)). La sous-représentation de T(π) (resp. S(π), ∧ (π)) définie par Tⁿ(E) (resp. Sⁿ(E), ∧ⁿ(E)) se note Tⁿ(π) (resp. Sⁿ(π), ∧ⁿ(π)). La représentation Tⁿ(π) est le produit tensoriel de n représentations identiques à π. Les représentations S(π), ∧ (π) sont des représentations quotients de T(π), donc Sⁿ(π), ∧ⁿ(π) sont des représentations quotients de Tⁿ(π).

Exercises