Bài tập 12, § 6

Xét một không gian chuẩn hóa đầy đủ thực hoặc phức E và một không gian con vectơ đóng F của E sao cho $F^0$ không nhận phần bù tôpô nào trong $E'$.†

(a) Gọi A (tương ứng B) là không gian chuẩn hóa đầy đủ của các tự cấu xạ liên tục của E (tương ứng F). Gọi C là tập hợp các $u \in A$ sao cho $u(F) \subset F$. Gọi $\alpha$ là ánh xạ $u \mapsto (u, u|F)$ của C vào $A \times B$. Khi đó $\alpha$ là một đẳng cấu của không gian chuẩn hóa đầy đủ C lên một không gian con vectơ đóng của $A \times B$ và $\alpha(C)$ không nhận phần bù tôpô nào trong $A \times B$. (Cho $x \in E$ sao cho $x \notin F$. Cho

† Gọi $c_0$ (tương ứng $l^1, l^\infty$) là không gian Banach của các dãy thực hoặc phức $(x, x_2, \ldots)$ thỏa mãn $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ (tương ứng $\sum_n |x_n| < +\infty$, tương ứng $\sup_n |x_n| < +\infty$) với chuẩn $\|x\| = \sup_n |x_n|$ (tương ứng $\sum_n |x_n|$, tương ứng $\sup_n |x_n|$). Tồn tại một cấu xạ liên tục $\pi$ của $l^1$ lên $c_0$; gọi F là hạt nhân của nó. Khi đó $(c_0)' = l^1$ được đồng nhất với $F^0$. Nhưng một không gian con vectơ kiểu đếm được của $l^\infty$ không thể là một nhân tử trực tiếp tôpô trong $l^\infty$ (xem A. Grothendieck, Sur les applications linéaires faiblement compactes d’espaces du type $C(K)$, Can. J. Math., 5 (1953), p. 169).

$\xi \in F^0$ sao cho $\langle x, \xi \rangle = 1$. Nếu $\eta \in E'$, ký hiệu $\tilde{\eta}$ là phần tử $y \mapsto \langle y, \eta \rangle x$ của A. Giả sử tồn tại một phép chiếu $\pi$ của $A \times B$ lên $\alpha(C)$. Ta định nghĩa $\tilde{\pi}: E' \to E'$ bởi $\tilde{\pi}(\eta) = t(\alpha^{-1}(\pi(\tilde{\eta}, 0)))(\xi)$. Khi đó $\tilde{\pi}$ là một phép chiếu của $E'$ lên $F^0$, điều này là vô lý.)

(b) Một đại số chuẩn hóa đầy đủ thực hoặc phức có đơn vị M được xây dựng như sau: $M = \bigoplus_{i=0}^\infty M_i$ được phân bậc bởi các $M_i$; $M_0$ là tập hợp các bội vô hướng của 1; $M_1$ là tập hợp các bội vô hướng của một phần tử khác không u; $M_2 = \{0\}$; $M_3 = F$; $M_4 = E$; $M_i = \{0\}$ với $i \geq 5$; $ux = x$ với mọi $x \in M_3$. Gọi N là không gian chuẩn hóa đầy đủ của các tự cấu xạ liên tục của không gian chuẩn hóa đầy đủ M. Gọi $N_1$ là tập hợp các đạo hàm liên tục của M. Chứng minh, sử dụng (a), rằng $N_1$ không nhận phần bù tôpô nào trong N.

(c) Chứng minh rằng nhóm các tự đẳng cấu bicontinu của M là một nhóm con Lie gần của $\mathbf{GL}(M)$, nhưng không phải là một nhóm con Lie của $\mathbf{GL}(M)$. (Sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 18 và (b).)