Exercice 12, § 6

On considère un espace normable complet réel ou complexe E et un sous-espace vectoriel fermé F de E tel que $F^0$ n’admette pas de supplémentaire topologique dans $E'$.$^2$

1 Cf. N. H. KUIPER, The homotopy type of the unitary group of Hilbert space, Topology, t. III (1965), pp. 19–30. Dans cet article, il est même prouvé que G est contractile. 2 Soient $c_0$ (resp. $l^1, l^\infty$) l’espace de Banach des suites réelles ou complexes $(x_1, x_2, \ldots)$ vérifiant

a) Soit A (resp. B) l’espace normable complet des endomorphismes continus de E (resp. F). Soit C l’ensemble des $u \in A$ tels que $u(F) \subset F$. Soit $\alpha$ l’application $u \mapsto (u, u|F)$ de C dans $A \times B$. Alors $\alpha$ est un isomorphisme de l’espace normable complet C sur un sous-espace vectoriel fermé de $A \times B$, et $\alpha(C)$ n’admet pas de supplémentaire topologique dans $A \times B$. (Soit $x \in E$ tel que $x \notin F$. Soit $\xi \in F^0$ tel que $\langle x, \xi \rangle = 1$. Si $\eta \in E'$, notons $\tilde{\eta}$ l’élément $y \mapsto \langle y, \eta \rangle x$ de A. Supposons qu’il existe un projecteur $\pi$ de $A \times B$ sur $\alpha(C)$. Définissons $\tilde{\pi}: E' \to E'$ par $\tilde{\pi}(\eta) = {}^t(\alpha^{-1}(\pi(\tilde{\eta}, 0)))(\xi)$. Alors $\tilde{\pi}$ est un projecteur de $E'$ sur $F^0$, ce qui est absurde.) b) On construit une algèbre normable complète réelle ou complexe unifière M de la manière suivante : $M = \bigoplus_{i=0}^\infty M_i$ est graduée par les $M_i$; $M_0$ est l’ensemble des multiples scalaires de 1 ; $M_1$ est l’ensemble des multiples scalaires d’un élément non nul $u$; $M_2 = \{0\}$; $M_3 = F$; $M_4 = E$; $M_i = \{0\}$ pour $i \geq 5$; on a $ux = x$ pour tout $x \in M_3$. Soient N l’espace normable complet des endomorphismes continus de l’espace normable complet M. Soit $N_1$ l’ensemble des dérivations continues de M. Montrer, en utilisant a), que $N_1$ n’a pas de supplémentaire topologique dans N. c) Montrer que le groupe des automorphismes bicontinu de M est un quasi-sous-groupe de Lie de $\mathbf{GL}(M)$, mais non un sous-groupe de Lie de $\mathbf{GL}(M)$. (Utiliser le cor. 2 de la prop. 18, et b).)