Bài tập 13, § 6

Cho G là một nhóm Lie thực, $L = L(G)$, và $\phi : L \to G$ là một ánh xạ khả vi tại 0, sao cho $T_0(\phi) = \mathrm{Id}_L$ và sao cho $\phi(nx) = \phi(x)^n$ với mọi $x \in L$ và $n \in \mathbf{Z}$. Khi đó $\phi = \exp_G$. (Cho V là một lân cận của 0 trong L và W là một lân cận của e trong G sao cho $\theta = \exp_G | V$ là một đẳng cấu giải tích từ V lên W. Đặt $\psi = \theta^{-1} \circ (\phi | \phi^{-1}(W))$. Khi đó $T_0(\psi) = \mathrm{Id}_L$, do đó $\psi = \mathrm{Id}_L$ bằng cách sử dụng đẳng thức $\psi\left( \frac{1}{n} x \right) = \frac{1}{n} \psi(x)$ với x đủ gần 0 và $n \in \mathbf{Z} - \{0\}$.