Exercice 13, § 6

Soient G un groupe de Lie réel, $L = L(G)$, $\varphi: L \to G$ une application dérivable en 0 telle que $T_0(\varphi) = \mathrm{Id}_L$ et telle que $\varphi(nx) = \varphi(x)^n$ quels que soient $x \in L$ et $n \in \mathbf{Z}$. Alors $\varphi = \exp_G$. (Soient V un voisinage de 0 dans L, W un voisinage de e dans G, tels que $\theta = \exp_G|V$ soit un isomorphisme analytique de V sur W. Soit $\psi = \theta^{-1} \circ (\varphi|\varphi^{-1}(W))$. Alors $T_0(\psi) = \mathrm{Id}_L$, d’où $\psi = \mathrm{Id}_L$ en utilisant l’égalité $\psi\left(\frac{1}{n}x\right) = \frac{1}{n}\psi(x)$ pour $x$ assez voisin de 0 et $n \in \mathbf{Z} - \{0\}$.