Bài tập 18, § 6

Cho $A$ là một nhóm Lie phức giao hoán liên thông hữu hạn chiều với đại số Lie $a$; cho $\Lambda$ là hạt nhân của $\exp_A$, sao cho $\Lambda$ được đồng nhất với $a/\Lambda$.

(a) Các điều kiện sau là tương đương: (a1) Ánh xạ chính tắc $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ là đơn ánh. (a2) $A$ đẳng cấu với một nhóm con Lie của một nhóm nào đó $(\mathbf{C}^*)^n$. (a3) $A$ đẳng cấu với một nhóm $(\mathbf{C}^*)^p \times \mathbf{C}^q$. (a4) $A$ có một biểu diễn tuyến tính phức hữu hạn chiều trung thành. (a5) $A$ có một biểu diễn tuyến tính phức hữu hạn chiều nửa đơn trung thành với ảnh đóng. (b) Các điều kiện sau là tương đương: (b1) Ánh xạ chính tắc $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ là toàn ánh. (b2) $A$ đẳng cấu với một thương của một nhóm $(\mathbf{C}^*)^n$. (b3) Không có nhân tử trực tiếp nào của $A$ đẳng cấu với $\mathbf{C}$. (b4) Mọi biểu diễn tuyến tính phức của $A$ đều nửa đơn. (c) Các điều kiện sau là tương đương: (c1) Ánh xạ chính tắc $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ là song ánh. (c2) $A$ đẳng cấu với một nhóm $(\mathbf{C}^*)^n$. (d) Cho $F$ là một nhóm con hữu hạn của $A$ và cho $A' = A/F$. Chứng minh rằng $A$ thỏa mãn các điều kiện (a_i) (tương ứng (b_i), (c_i)) khi và chỉ khi $A'$ thỏa mãn chúng.