Exercice 18, § 6

Soit $A$ un groupe de Lie complexe, commutatif, connexe de dimension finie, d’algèbre de Lie $a$; soit $\Lambda$ le noyau de $\exp_A$, de sorte que $A$ s’identifie à $a/\Lambda$. a) Les conditions suivantes sont équivalentes: $a1)$ L’application canonique $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ est injective. $a2)$ $A$ est isomorphe à un sous-groupe de Lie d’un $(\mathbf{C}^*)^n$. $a3)$ $A$ est isomorphe à un groupe $(\mathbf{C}^*)^p \times \mathbf{C}^q$. $a4)$ $A$ possède une représentation linéaire complexe fidèle de dimension finie. $a5)$ $A$ possède une représentation linéaire complexe fidèle semi-simple de dimension finie et d’image fermée. b) Les conditions suivantes sont équivalentes: $b1)$ L’application canonique $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ est surjective. $b2)$ $A$ est isomorphe à un quotient d’un groupe $(\mathbf{C}^*)^n$. $b3)$ Aucun facteur direct de $A$ n’est isomorphe à $\mathbf{C}$. $b4)$ Toute représentation linéaire complexe de $A$ est semi-simple. c) Les conditions suivantes sont équivalentes: $c1)$ L’application canonique $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ est bijective. $c2)$ $A$ est isomorphe à un groupe $(\mathbf{C}^*)^n$. d) Soit $F$ un sous-groupe fini de $A$, et soit $A' = A/F$. Montrer que $A$ vérifie les conditions $a_i$ (resp. $b_i$, $c_i$) si et seulement si $A'$ les vérifie.