Bài tập 25, § 6

Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều. Cho $S \subset L(G)$. Giả sử rằng $L(G)$ là đại số Lie sinh bởi $S$ và $S$ ổn định đối với các phép vị tự.

(a) Gọi H là nhóm con của G sinh bởi exp S. Chứng minh rằng H mở trong G. (Gọi A là tập hợp các $x \in L(G)$ sao cho $\exp(Kx) \subset H$ và B là không gian con vectơ của $L(G)$ sinh bởi A. Chứng minh rằng $[A, S] \subset A$ rồi $[A, A] \subset B$. Suy ra rằng B là một đại số con của $L(G)$ rồi sử dụng Mệnh đề 3 của § 4.)

(b) Giả sử thêm rằng

Khi đó không gian con vectơ V của $L(G)$ sinh bởi S bằng $L(G)$. (Dùng (a), chứng minh rằng $[L(G), V] \subset V$.)