Exercice 25, § 6

Soit G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie. Soit S ⊂ L(G). On suppose que L(G) est l’algèbre de Lie engendrée par S, et que S est stable par les homothéties. a) Soit H le sous-groupe de G engendré par exp S. Montrer que H est ouvert dans G. (Soient A l’ensemble des x ∈ L(G) tels que exp(Kx) ⊂ H, et B le sous-espace vectoriel de L(G) engendré par A. Montrer que [A, S] ⊂ A, puis que [A, A] ⊂ B. En déduire que B est une sous-algèbre de L(G), puis utiliser la prop. 3 du § 4.) b) On suppose en outre que

Alors le sous-espace vectoriel V de L(G) engendré par S est égal à L(G). (En utilisant a), montrer que [L(G), V] ⊂ V.)