Bài tập 26, § 6

Cho G là một nhóm Lie phức compact liên thông n-chiều, X là một đa tạp giải tích phức liên thông hữu hạn chiều và $(g, x) \mapsto gx$ là một luật của phép toán trái giải tích của G trên X. Với mọi $g \in G$, gọi $\varphi(g)$ là ánh xạ $x \mapsto gx$ của X vào X. Giả sử rằng, với mọi $g \in G$ phân biệt với e, $\varphi(g) \neq \mathrm{Id}_X$. Khi đó mọi quỹ đạo của G trong X là một đa tạp con đóng n-chiều của X. (Cho $x \in X$, H là nhóm ổn định của x và H' là thành phần đơn vị của H. Với mọi $g \in H'$, gọi $u(g)$ là ánh xạ tiếp xúc tại x của $\varphi(g)$. Lập luận như trong Mệnh đề 6 của no. 3, hãy chứng minh rằng $u(g)$ là đồng nhất với mọi $g \in H'$. Sử dụng § 1, Bài tập 4 và tính liên thông của X, hãy suy ra rằng $H' = \{e\}$.