Exercice 26, § 6

Soient G un groupe de Lie complexe compact connexe de dimension n, X une variété analytique complexe connexe de dimension finie, (g, x) ↦ gx une loi d’opération à gauche analytique de G dans X. Pour tout g ∈ G, soit ρ(g) l’application x ↦ gx de X dans X. On suppose que, pour tout g ∈ G distinct de e, on a ρ(g) ≠ Id_X. Alors toute orbite de G dans X est une sous-variété fermée de dimension n de X. (Soient x ∈ X, H le stabilisateur de x, H’ la composante neutre de H. Pour tout g ∈ H’, soit u(g) l’application tangente en x à ρ(g). En raisonnant comme pour la prop. 6 du n° 3, montrer que u(g) est l’identité pour tout g ∈ H’. En utilisant le § 1, exerc. 4, et la connexité de X, en déduire que H’ = {e}.)