Bài tập 27, § 6

Cho G là một nhóm Lie thực compact, M là một đa tạp compact thuộc lớp $C^2$ và J là một khoảng mở của $\mathbf{R}$ chứa 0. Cho $(s, (x, \xi)) \mapsto (m_\xi(s, x), \xi)$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^2$ từ $G \times (M \times J)$ vào $M \times J$ dưới đó G tác động trái lên $M \times J$.

(a) Cho X là một trường vectơ thuộc lớp $C^1$ trên $M \times J$ sao cho, với mọi $(x, \xi) \in M \times J$, phép chiếu thứ hai của $X_{(x, \xi)}$ là vectơ tiếp xúc 1 của J. Tịnh tiến X bởi G và lấy tích phân trên G, suy ra sự tồn tại của một trường X' có cùng các tính chất như X, hơn nữa bất biến dưới G.

(b) Chứng minh rằng tồn tại một phép vi phôi $(x, \xi) \mapsto (h_\xi(x), \xi)$ của $M \times J$ lên chính nó sao cho (i) với mọi $\xi \in J$, $h_\xi$ là một phép vi phôi của M lên M; (ii) $m_\xi(s, x) = h_\xi(m_0(s, h_\xi^{-1}(x)))$ với $s \in G, x \in M, \xi \in J$. (Dùng (a) và Định lý 5 của no. 8.)