Exercice 27, § 6

Soient G un groupe de Lie réel compact, M une variété compacte de classe C^2, J un intervalle ouvert de $\mathbf{R}$ contenant 0. Soit (s, (x, ξ)) ↦ (m_ξ(s, x), ξ) une application de classe C^2 de G × (M × J) dans M × J par laquelle G opère à gauche dans M × J. a) Soit X un champ de vecteurs de classe C^1 sur M × J tel que, pour tout (x, ξ) ∈ M × J, la deuxième projection de X_{(x,ξ)} soit le vecteur tangent 1 à J. Transformant X par G et intégrant sur G, en déduire l’existence d’un champ X’ ayant les mêmes propriétés que X et de plus invariant par G. b) Montrer qu’il existe un difféomorphisme (x, ξ) ↦ (h_ξ(x), ξ) de M × J sur lui-même tel que (i) pour tout ξ ∈ J, h_ξ est un difféomorphisme de M sur M; (ii) m_ξ(s, x) = h_ξ(m_0(s, h_ξ^{-1}(x))) pour s ∈ G, x ∈ M, ξ ∈ J. (Utiliser a) et le th. 5 du n° 8.)