Bài tập 30, § 6

Cho G là một nhóm Lie phức liên thông compact và do đó có dạng \mathbf{C}^n/D, trong đó D là một nhóm con rời rạc của \mathbf{C}^n có hạng 2n. (a) Chứng minh rằng mọi dạng vi phân 1 giải tích trên G đều bất biến. (Gọi $\pi : \mathbf{C}^n \to G$ là cấu xạ chính tắc. Gọi $\zeta_1, \ldots, \zeta_n$ là các hàm tọa độ trên $\mathbf{C}^n$. Khi đó $\pi^*(\omega)$ có dạng $\sum_j a_j d\zeta_j$, trong đó các $a_j$ là các hàm giải tích trên $\mathbf{C}^n$ bất biến dưới D và do đó là hằng.) (b) Cho $G' = \mathbf{C}^n/D'$, trong đó D' là một nhóm con rời rạc của $\mathbf{C}^n$ có hạng 2n. Chứng minh rằng mọi đẳng cấu đa tạp giải tích $u : G \to G'$ đều có dạng $s \mapsto v(s) + a'$, trong đó v là một đẳng cấu nhóm Lie và $a' \in G'$. (Gọi $\pi' : \mathbf{C}^n \to G'$ là cấu xạ chính tắc. Có một đẳng cấu các đa tạp giải tích $\tilde{u} : \mathbf{C}^n \to \mathbf{C}^n$ sao cho $u \circ \pi = \pi' \circ \tilde{u}$. Với mọi dạng vi phân 1 giải tích $\omega'$ trên $G'$, $u^*({\pi'}^*(\omega'))$ là một dạng 1 trên $\mathbf{C}^n$ bất biến dưới các phép tịnh tiến theo (a). Suy ra rằng $\tilde{u}$ là một ánh xạ affine.)