Exercice 30, § 6

Soit G un groupe de Lie complexe connexe compact, donc de la forme $\mathbf{C}^n/D$, où D est un sous-groupe discret de $\mathbf{C}^n$ de rang $2n$. a) Montrer que toute 1-forme différentielle holomorphe $\omega$ sur G est invariante. (Soit $\pi : \mathbf{C}^n \to G$ le morphisme canonique. Soient $\zeta_1, \ldots, \zeta_n$ les fonctions coordonnées sur $\mathbf{C}^n$. Alors $\pi^*(\omega)$ est de la forme $\sum_j a_j d\zeta_j$ où les $a_j$ sont des fonctions holomorphes sur $\mathbf{C}^n$ invariantes par D, donc constantes.) b) Soit $G' = \mathbf{C}^n/D'$ où $D'$ est un sous-groupe discret de $\mathbf{C}^n$ de rang $2n$. Montrer que tout isomorphisme de variétés analytiques $u : G \to G'$ est de la forme $s \mapsto v(s) + a'$ où $v$ est un isomorphisme de groupes de Lie et où $a' \in G'$. (Soit $\pi' : \mathbf{C}^n \to G'$ le morphisme canonique. Il existe un isomorphisme de variétés analytiques $\tilde{u} : \mathbf{C}^n \to \mathbf{C}^n$ tel que $u \circ \pi = \pi' \circ \tilde{u}$. Pour toute 1-forme différentielle $\omega'$ holomorphe sur $G'$, $\tilde{u}^*({\pi'}^*(\omega'))$ est une 1-forme sur $\mathbf{C}^n$ invariante par translations d’après a). En déduire que $\tilde{u}$ est une application affine.)