Bài tập 8, § 6

Cho $H$ là một không gian Hilbert phức chiều $n_0$ và $G$ là nhóm unita của $H$ được xét như một nhóm Lie thực. Nhóm $G$ là đơn liên thông.\footnote{Xem N. H. Kuiper, The homotopy type of the unitary group of Hilbert space, Topology, 3 (1965), tr. 19–30. Trong bài báo này thậm chí còn chứng minh rằng $G$ là co rút được.}

(a) Cho $Z$ là tâm của $G$, đẳng cấu với $\mathbf{T}$. Cho $a$ là một số vô tỉ. Cho $\mathfrak{s}$ là đại số con Lie của $L(G) \times L(G)$ gồm các $(x, ax)$ trong đó $x \in L(Z)$. Cho S là nhóm con nguyên tương ứng của $G \times G$. Khi đó $\mathfrak{s}$ là một iđêan của $L(G) \times L(G)$; tuy nhiên S không đóng và trù mật trong $Z \times Z$.

(b) Cho $g = (L(G) \times L(G))/\mathfrak{s}$. Không tồn tại nhóm Lie nào có đại số Lie là g. (Cho H là một nhóm như thế. Vì G là đơn liên thông, tồn tại một cấu xạ $\phi : G \times G \to H$ sao cho $L(\phi)$ là ánh xạ chính tắc từ $L(G) \times L(G)$ lên g. Đặt N = Ker $\phi$. Khi đó $L(N) \supset \mathfrak{s}$, do đó N $\supset S$ và vì thế N $\supset Z \times Z$ theo (a). Khi đó $L(N) \supset L(Z) \times L(Z)$, điều này là phi lý.)