Exercice 8, § 6

Soient H un espace hilbertien complexe de dimension $\aleph_0$, et G le groupe unitaire de H considéré comme groupe de Lie réel. Le groupe G est simplement connexe.$^1$ a) Soit Z le centre de G, qui est isomorphe à $\mathbf{T}$. Soit $a$ un nombre irrationnel. Soit $s$ la sous-algèbre de Lie de $L(G) \times L(G)$ formée des $(x, ax)$ où $x \in L(Z)$. Soit S le sous-groupe intégral de $G \times G$ correspondant. Alors $s$ est un idéal de $L(G) \times L(G)$; pourtant, S est non fermé, et est dense dans $Z \times Z$. b) Soit $g = (L(G) \times L(G))/s$. Il n’existe aucun groupe de Lie d’algèbre de Lie $g$. (Soit H un tel groupe. Comme G est simplement connexe, il existe un morphisme $\varphi : G \times G \to H$ tel que $L(\varphi)$ soit l’application canonique de $L(G) \times L(G)$ sur $g$. Soit $N = \mathrm{Ker}\, \varphi$. On a $L(N) \supset s$, donc $N \supset S$ et par suite $N \supset Z \times Z$ d’après a). Alors $L(N) \supset L(Z) \times L(Z)$, ce qui est absurde.)