Bài tập 12, § 1

Cho (W, S) là một hệ Coxeter sao cho m(s, s') là chẵn nếu s ≠ s' và cho X là một tập con của S. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất f_X từ W đến W_X sao cho f_X(s) = s với s ∈ X và f_X(s) = 1 với s ∈ S - X. Suy ra rằng W là tích nửa trực tiếp của W_X và hạt nhân của f_X. Chứng minh rằng nếu X ⊂ Y ⊂ S, tồn tại một đồng cấu duy nhất f_{X,Y} từ W_Y đến W_X sao cho f_X = F_{X,Y} ∘ f_Y và W có thể được đồng nhất với một nhóm con của hệ xạ ảnh thu được như vậy từ các $W_X$ khi X chạy qua tập hợp lọc các tập con hữu hạn của $S$.