Exercice 12, § 1

Soit $(W, S)$ un système de Coxeter tel que $m(s, s')$ soit pair pour $s \neq s'$ et soit $X$ une partie de $S$. Montrer qu’il existe un homomorphisme $f_X$ et un seul de $W$ sur $W_X$ tel que $f_X(s) = s$ pour $s \in X$ et $f_X(s) = 1$ pour $s \in S - X$. En déduire que $W$ est produit semi-direct de $W_X$ et du noyau de $f_X$. Montrer que si $X \subset Y \subset S$, il existe un homomorphisme $f_{X,Y}$ de $W_Y$ sur $W_X$ et un seul tel que $f_X = f_{X,Y} \circ f_Y$ et que $W$ s’identifie à un sous-groupe du système projectif ainsi obtenu des $W_X$ pour $X$ décrivant l’ensemble filtrant des parties finies de $S$.