Bài tập 18, § 1

Cho $A$ là một căn hộ (Bài tập 15). Một phép gấp của $A$ là một tự đồng cấu $\pi$ của $A$ sao cho $\pi^2 = \pi$ và sao cho mọi buồng của $A$ là ảnh qua $\pi$ của 0 hoặc 2 buồng.

a) Cho $\pi$ là một phép gấp của $A$ và $C$ là một buồng của $A$ sao cho $\pi(C) = C$. Với mọi buồng lân cận $C'$ của $C$, hoặc $\pi(C') = C'$ hoặc $\pi(C') = C$; nếu $a \in C$ thì ta có $\pi(a) = a$. Chứng minh rằng, nếu $(C_0 = C, C_1, \ldots, C_n)$ là một đường gallery, thì hoặc $\pi(C_i) = C_i$ với mọi $i$, hoặc $(C_0, \pi(C_1), \ldots, \pi(C_n))$ không cực tiểu (và thực ra có hai buồng liên tiếp bằng nhau). Suy ra rằng mọi đường gallery cực tiểu mà các đầu mút là bất biến qua $\pi$ đều bất biến qua $\pi$. Nếu $(C = C_0, C_1, \ldots, C_n)$ là một đường gallery cực tiểu và nếu $\pi(C_n) \neq C_n$, tồn tại một chỉ số $i$ với $0 \leq i < n$ sao cho $\pi(C_j) = C_j$ với $0 \leq j \leq i$ và $\pi(C_j) \neq C_j$ với $i < j \leq n$.

b) Cho $C_1$ và $C_2$ là hai buồng lân cận phân biệt và $\pi, \pi'$ là hai phép gấp của $A$. Giả sử rằng $\pi(C_0) = C_1$ và $\pi'(C_1) = C_0$. Cho $C$ là một buồng, và xét ba điều kiện sau:

Chứng minh rằng $(1) \implies (2) \implies (3)$ và suy ra rằng ba điều kiện là tương đương. Chứng minh rằng $\pi$ (resp. $\pi'$) là phép gấp duy nhất của $A$ đưa $C_2$ (resp.

C₁) tới C₁ (resp. C₂) (giả sử rằng (2) được thỏa mãn và xét một đường gallery cực tiểu $(C₁, C₂', ..., Cₙ' = C):$ chứng minh rằng π'(C'_{j+1}) là buồng duy nhất phân biệt với π'(C'_j) và chứa panel π'(C'_j ∩ C'_{j+1})). Chứng minh rằng π($\mathscr{C}$) và π'($\mathscr{T}$) lập thành một phân hoạch của tập $\mathscr{T}$ các buồng của $A$ và rằng π(a) = π'(a) = a với mọi a ∈ π(A) ∩ π'(A). Chứng minh rằng ánh xạ từ $A$ vào chính nó trùng với π' trên π(A) và với π trên π'(A) là một tự đẳng cấu đối involution của $A$. Nó được gọi là phép đối xứng đối với panel C₁ ∩ C₂. Chứng minh rằng nó là tự đẳng cấu không tầm thường duy nhất của $A$ giữ cố định mọi điểm của C₁ ∩ C₂ (dùng Bài tập 15 b)).

c) Giả sử rằng $A$ là căn hộ liên kết với một hệ Coxeter $(W, S)$ và giữ nguyên ký hiệu của Bài tập 16. Cho $C₁$ và $C₂$ là hai buồng lân cận và cho $t$ là phần tử của $T$ sao cho tường $L_t$ là giá của C₁ ∩ C₂. Cho $M_j$ là nửa của $A$ được xác định bởi $L_t$ và chứa $C_j$ (với $j = 1, 2$). Chứng minh rằng ánh xạ $\pi$ được xác định bởi $\pi(a) = a$ nếu $a \in M₁$ và $\pi(a) = t(a)$ nếu $a \in M₂$ là một phép gấp của $A$ sao cho $\pi(C₂) = C₁$ và rằng phép đối xứng đối với panel C₁ ∩ C₂ là ánh xạ a ↦ t(a).