Exercice 18, § 1

Soit $A$ un appartement (exerc. 15). On appelle pliage de $A$ un endomorphisme $\pi$ de $A$ tel que $\pi^2 = \pi$ et que toute chambre de $A$ soit image par $\pi$ de 0 ou 2 chambres.

a) Soient $\pi$ un pliage de $A$ et $C$ une chambre de $A$ telle que $\pi(C) = C$. Pour toute chambre $C'$ mitoyenne de $C$, on a, ou bien $\pi(C') = C'$ ou bien $\pi(C') = C$; si $a \in C$, on a $\pi(a) = a$. Soit $(C_0 = C, C_1, \ldots, C_n)$ une galerie : montrer que, ou bien $\pi(C_i) = C_i$ pour tout $i$, ou bien $(C_0, \pi(C_1), \ldots, \pi(C_n))$ n’est pas minimale (et même a deux chambres consécutives égales). En déduire que toute galerie minimale d’extrémités invariantes par $\pi$ est invariante par $\pi$. Si $(C = C_0, C_1, \ldots, C_n)$ est une galerie minimale et si $\pi(C_n) \neq C_n$, il existe un indice $i$ avec $0 \leq i < n$ tel que $\pi(C_j) = C_j$ pour $0 \leq j \leq i$ et $\pi(C_j) \neq C_j$ pour $i < j \leq n$.

b) Soient $C_1$ et $C_2$ deux chambres mitoyennes distinctes et $\pi, \pi'$ deux pliages de $A$. On suppose que $\pi(C_2) = C_1$ et $\pi'(C_1) = C_2$. Soit $C$ une chambre ; considérons les trois conditions suivantes :

(1) $\pi(C) = C;$ (2) $d(C, C_1) < d(C, C_2);$ (3) $\pi'(C) \neq C.$

Montrer que (1) $\Longrightarrow$ (2) $\Longrightarrow$ (3) et en déduire que ces trois conditions sont équivalentes. Montrer que $\pi$ (resp. $\pi'$) est l’unique pliage de $A$ amenant $C_2$ (resp. $C_1$) sur $C_1$ (resp. $C_2$) (supposons (2) vérifiée et soit $(C_1, C_2', \ldots, C_n' = C)$ une galerie minimale : montrer que $\pi'(C_{j+1}')$ est l’unique chambre distincte de $\pi'(C_j')$ et contenant la cloison $\pi'(C_j' \cap C_{j+1}')$). Montrer que $\pi(\mathfrak{S})$ et $\pi'(\mathfrak{S})$ forment une partition de l’ensemble $\mathfrak{S}$ des chambres de $A$ et que $\pi(a) = \pi'(a) = a$ pour tout $a \in \pi(A) \cap \pi'(A)$. Montrer que l’application de $A$ dans lui-même qui coïncide avec $\pi'$ sur $\pi(A)$ et avec $\pi$ sur $\pi'(A)$ est un automorphisme involutif de $A$. On l’appelle la réflexion par rapport à la cloison $C_1 \cap C_2$. Montrer que c’est le seul automorphisme non trivial de $A$ laissant fixes tous les points de $C_1 \cap C_2$ (utiliser l’exerc. 15 b)).

c) On suppose que $A$ est l’appartement associé à un système de Coxeter $(W, S)$ et on reprend les notations de l’exerc. 16. Soient $C_1$ et $C_2$ deux chambres mitoyennes et $t$ l’élément de $T$ tel que le mur $L_t$ soit le support de $C_1 \cap C_2$. Soit $M_j$ la moitié de $A$ déterminée par $L_t$ et contenant $C_j$ (pour $j = 1, 2$). Montrer que l’application $\pi$ définie par $\pi(a) = a$ si $a \in M_1$ et $\pi(a) = t(a)$ si $a \in M_2$ est un pliage de $A$ tel que $\pi(C_2) = C_1$ et que la réflexion par rapport à la cloison $C_1 \cap C_2$ est l’application $a \mapsto t(a)$.