Bài tập 19, § 1

Cho A là một căn hộ. Giả sử rằng, với mọi hai phòng kề nhau phân biệt C₁ và C₂, tồn tại một phép gấp (Bài tập 18) của A đưa C₁ vào C₂. Cho C là một phòng của A và $(C_i)_{i∈I}$ là họ các phòng kề C và phân biệt với C. Ký hiệu $s_i$ là phép phản xạ đối với vách $C \cap C_i$ (Bài tập 18 b)). Đặt $S = \{s_i | i ∈ I\}$ và ký hiệu W là nhóm các tự đẳng cấu của A sinh bởi các $s_i$.

a) Chứng minh rằng, với mọi phòng C', tồn tại $w ∈ W$ sao cho $C' = w(C)$ (lập luận bằng quy nạp theo $d(C, C')$).

b) Chứng minh rằng $(W, S)$ là một hệ Coxeter (với $i ∈ I$, đặt

trong đó $\pi_i$ là phép gấp đưa $C_i$ vào C, và chứng minh rằng các giả thiết của Mệnh đề 6 được thỏa mãn: để chứng minh điều kiện (C'), nhận xét rằng nếu $w ∈ P_{s_i}$ và $ws_j ∉ P_{s_i}$, thì

Vì $w(C)$ và $ws_j(C)$ kề nhau, suy ra rằng $s_i = ws_j w^{-1}$ (Bài tập 18 b)).

c) Cho F là một mặt của phòng C. Chứng minh rằng nhóm ổn định $W_F$ của F trong W được sinh bởi các $s_i ∈ S$ sao cho $F ⊂ C \cap C_i$ (cho $w ∈ W_F$ với $l_S(w) > 1$ và cho $i ∈ I$ sao cho $w = s_i w'$ với $l(w') = l(w) - 1$; theo Mệnh đề 6, $w' ∈ P_{s_i}$, do đó $w(C) ⊂ s_i \pi_i(A)$, $F ⊂ \pi_i(A) \cap s_i \pi_i(A)$ và $s_i ∈ W_F$). Đặc biệt, $w(C) = C$ khi và chỉ khi $w = 1$.

d) Chứng minh rằng ánh xạ $a ↦ W_{\{a\}}$ là một đẳng cấu từ căn hộ A đến căn hộ liên kết với $(W, S)$ (Bài tập 16), tương thích với tác động của W.