Exercice 19, § 1

Soit $A$ un appartement. On suppose que, quelles que soient les chambres mitoyennes distinctes $C_1$ et $C_2$, il existe un pliage (exerc. 18) de $A$ amenant $C_1$ en $C_2$. Soient $C$ une chambre de $A$ et $(C_i)_{i \in I}$ la famille des chambres mitoyennes de $C$, distinctes de $C$. On désigne par $s_i$ la réflexion par rapport à la cloison $C \cap C_i$ (exerc. 18 b)). On pose $S = \{ s_i | i \in I \}$ et on désigne par $W$ le groupe d’automorphismes de $A$ engendré par les $s_i$.

a) Montrer que, pour toute chambre $C'$, il existe $w \in W$ tel que $C' = w(C)$ (on raisonnera par récurrence sur $d(C, C')$).

b) Montrer que $(W, S)$ est un système de Coxeter (pour $i \in I$, poser

où $\pi_i$ est le pliage amenant $C_i$ sur $C$ et montrer que les hypothèses de la prop. 6 sont vérifiées : pour démontrer la condition $(C')$, on remarquera que si $w \in P_{s_i}$ et $ws_j \notin P_{s_i}$, on a Comme $w(C)$ et $ws_j(C)$ sont mitoyennes, on en déduira que $s_i = ws_j w^{-1}$ (exerc. 13 b)).

c) Soit $F$ une facette de la chambre $C$. Montrer que le stabilisateur $W_F$ de $F$ dans $W$ est engendré par les $s_i \in S$ tels que $F \subset C \cap C_i$ (soit $w \in W_F$, avec $l_S(w) > 1$ et soit $i \in I$ tel que $w = s_i w'$ avec $l(w') = l(w) - 1$; d’après la prop. 6, on a $w' \in P_{s_i}$, d’où $w(C) \subset s_i \pi_i(A)$, $F \subset \pi_i(A) \cap s_i \pi_i(A)$ et $s_i \in W_F$). En particulier, on a $w(C) = C$ si et seulement si $w = 1$.

d) Montrer que l’application $a \mapsto W_{\{a\}}$ est un isomorphisme de l’appartement $A$ sur l’appartement associé à $(W, S)$ (exerc. 16), compatible avec l’action de $W$.