Bài tập 20, § 1

Cho $A$ là một building và $S$ là một tập hợp. Khi đó $A$ được gọi là đánh số bởi $S$ nếu cho một ánh xạ $f$ từ $A$ vào $S$ sao cho, với mọi chamber $C$ của $A$, hạn chế của $f$ lên $C$ là một song ánh từ $C$ vào $S$. Nếu $F$ là một facet của $A$, thì $f(F)$ được gọi là kiểu của $F$. Cho $A$ là một building được đánh số. Một tự đồng cấu $\varphi$ của $A$ được gọi là được phép nếu $a$ và $\varphi(a)$ có cùng kiểu với mọi $a \in A$.

a) Cho $\varphi$ là một tự đồng cấu của $A$. Chứng minh rằng, nếu tồn tại một chamber $C$ của $A$ sao cho $a$ và $\varphi(a)$ có cùng kiểu với mọi $a \in C$, thì $\varphi$ được phép. Chứng minh rằng nếu $A$ là một apartment và $\pi$ là một phép gấp của $A$ (Exerc. 18), thì $\pi$ là một tự đồng cấu được phép.

b) Một tập con $D$ của $A$ được gọi là lồi nếu, với mọi $a \in A - D$, tồn tại một tự đồng cấu được phép $\varphi$ của $A$ sao cho $\varphi(x) = x$ với mọi $x \in D$ và $\varphi(a) \neq a$. Chứng minh rằng mọi giao của các tập hợp lồi đều lồi và rằng, với mọi tập con $D$ của $A$, tồn tại một tập hợp lồi nhỏ nhất chứa $D$: tập hợp này được gọi là bao lồi của $D$ và được ký hiệu là $\Gamma(D)$.