Exercice 20, § 1

Soient $A$ un immeuble et $S$ un ensemble. On dit que $A$ est numéroté par $S$ si l’on s’est donné une application $f$ de $A$ dans $S$ telle que, pour toute chambre $C$ de $A$, la restriction de $f$ à $C$ soit une bijection de $C$ sur $S$. Si $F$ est une facette de $A$, on dit alors que $f(F)$ est le type de $F$. Soit $A$ un immeuble numéroté. Un endomorphisme $\varphi$ de $A$ est dit permis si $a$ et $\varphi(a)$ sont de même type pour tout $a \in A$.

a) Soit $\varphi$ un endomorphisme de $A$. Montrer que s’il existe une chambre $C$ de $A$ telle que $a$ et $\varphi(a)$ soient de même type pour tout $a \in C$, alors $\varphi$ est permis. Montrer que si $A$ est un appartement et $\pi$ un pliage de $A$ (exerc. 18), alors $\pi$ est un endomorphisme permis.

b) Une partie $D$ de $A$ est dite convexe si, pour tout $a \in A - D$, il existe un endomorphisme permis $\varphi$ de $A$ tel que $\varphi(x) = x$ pour tout $x \in D$ et $\varphi(a) \neq a$. Montrer que toute intersection de parties convexes est convexe et que, pour toute partie $D$ de $A$, il existe une plus petite partie convexe contenant $D$ : on l’appelle l’enveloppe convexe de $D$ et on la note $\Gamma(D)$.