Bài tập 21, § 1

Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter và A là căn hộ liên kết (xem Bài tập 16, trong đó ta giữ lại ký hiệu).

a) Chứng minh rằng tồn tại một cách đánh số duy nhất của A (gọi là cách đánh số chính tắc) sao cho kiểu của một mặt F là kiểu được xác định trong Bài tập 16 c). Ta sẽ luôn xét A được trang bị cách đánh số này.

b) Chứng minh rằng các tự đẳng cấu được phép của A là các phép toán của W.

c) Cho D là một tập con của A chứa ít nhất một phòng. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) D là giao của các nửa của A (Bài tập 16 g)) chứa D; (ii) D là lồi; (iii) bất cứ khi nào hai mặt $F_1$ và $F_2$ được chứa trong D, bao lồi của $F_1 \cup F_2$ được chứa trong D; (iv) bất cứ khi nào một phòng $C_1$ và một mặt F được chứa trong D và $(C_1, \ldots, C_n)$ là một dãy gallery có độ dài cực tiểu sao cho $F \subset C_n$, ta có $C_i \subset D$ với $1 \leq i \leq n$.

(Để chứng minh rằng (iii) $\Longrightarrow$ (iv), dùng Bài tập 15 b). Để chứng minh rằng (iv) $\Longrightarrow$ (i), hãy lập luận bằng phản chứng. Gọi $D'$ là giao của các nửa của A chứa D; cho $a \in D' - D$, cho $C_0$ là một phòng được chứa trong D và cho $(C_0, C_1, \ldots, C_n)$ là một dãy gallery có độ dài cực tiểu sao cho $a \in C_n$. Khi đó $C_j \subset D'$ với mọi j. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $j$ với $0 \leq j < n$ sao cho $C_j \subset D$ và $C_{j+1} \notin D$. Gọi M (tương ứng $M'$) là nửa của A được xác định bởi tường giá của bảng $C_j \cap C_{j+1}$ và chứa $C_j$ (tương ứng $C_{j+1}$). Chứng minh rằng $D \notin M$. Cho $b \in D \cap (A - M)$ và cho $\Gamma = (C_j, C'_1, \ldots, C'_p)$ là một dãy gallery có độ dài nhỏ nhất có thể sao cho $b \in C'_p$. Khi đó $C'_k \subset D$ với $1 \leq k \leq p$ và $C'_p \subset M'$. Gọi $\pi$ là phép gấp của A có ảnh $M'$ (Bài tập 18 c)): khi đó $\pi(C_j) = C_{j+1}$ và dãy gallery $\pi(\Gamma)$ không đơn ánh (Bài tập 18 a)). Nếu $\Gamma' = (C_{j+1}, C'_2, \ldots, C'_{p-2}, C'_p)$ là dãy gallery thu được từ $\pi(\Gamma)$ bằng cách loại bỏ một trong hai phòng liên tiếp bằng nhau, thì dãy gallery $(C_j, C_{j+1}, C'_2, \ldots, C'_{p-2}, C'_p)$ là cực tiểu theo định nghĩa của $\Gamma$. Suy ra từ (iv) rằng $C_{j+1} \subset D$. Mâu thuẫn.)