Exercice 21, § 1

Soient $(W, S)$ un système de Coxeter et $A$ l’appartement associé (cf. exerc. 16, dont nous reprenons les notations).

a) Montrer qu’il existe un numérotage et un seul (dit canonique) de $A$ pour lequel le type d’une facette $F$ est celui défini à l’exerc. 16 c). On considérera toujours $A$ comme muni de ce numérotage.

b) Montrer que les automorphismes permis de $A$ sont les opérations de $W$.

c) Soit $D$ une partie de $A$ contenant au moins une chambre. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $D$ est l’intersection des moitiés de $A$ (exerc. 16 g)) qui contiennent $D$;

(ii) $D$ est convexe;

(iii) quelles que soient les facettes $F_1$ et $F_2$ contenues dans $D$, l’enveloppe convexe de $F_1 \cup F_2$ est contenue dans $D$;

(iv) quelles que soient la chambre $C_1$ et la facette $F$ contenues dans $D$ et quelle que soit la galerie $(C_1, \ldots, C_n)$ telle que $F \subset C_n$, de plus petite longueur possible, on a $C_i \subset D$ pour $1 \leq i \leq n$.

(Pour montrer que (iii) $\Longrightarrow$ (iv), utiliser l’exerc. 15 b). Pour montrer que (iv) $\Longrightarrow$ (i), on raisonnera par l’absurde. Soit $D'$ l’intersection des moitiés de $A$ contenant $D$; soient $a \in D' - D$, $C_0$ une chambre contenue dans $D$ et $(C_0, C_1, \ldots, C_n)$ une galerie de plus petite longueur possible telle que $a \in C_n$. On a alors $C_j \subset D'$ pour tout $j$. Montrer qu’il existe un entier $j$ avec $0 \leq j < n$ tel que $C_j \subset D$ et $C_{j+1} \notin D$. Soit $M$ (resp. $M'$) la moitié de $A$ déterminée par le mur support de la cloison $C_j \cap C_{j+1}$ et contenant $C_j$ (resp. $C_{j+1}$). Montrer que $D \notin M$. Soient $b \in D \cap (A - M)$ et $\Gamma = (C_j, C'_1, \ldots, C'_p)$ une galerie de plus petite longueur possible telle que $b \in C'_p$. On a $C'_k \subset D$ pour $1 \leq k \leq p$ et $C'_p \subset M'$. Soit $\pi$ le pliage de $A$ d’image $M'$ (exerc. 18 c)) : on a $\pi(C_j) = C_{j+1}$ et la galerie $\pi(\Gamma)$ n’est pas injective (exerc. 18 a)). Si $\Gamma' = (C_{j+1}, C''_2, \ldots, C''_{p-2}, C'_p)$ est la galerie obtenue à partir de $\pi(\Gamma')$ par suppression de l’une de deux chambres consécutives égales, la galerie $(C_j, C_{j+1}, C''_2, \ldots, C''_{p-2}, C'_p)$ est minimale d’après la définition de $\Gamma$. On déduit alors de (iv) que $C_{j+1} \subset D$. Contradiction.)