Bài tập 23, § 1

Ta giữ ký hiệu của Bài tập 16. Cho $\mathrm{Aut}(A)$ là nhóm các tự đẳng cấu của căn hộ $A$. Hãy chứng minh rằng nếu $\varphi \in \mathrm{Aut}(A)$ thì $\varphi$ hoán vị các tường của $A$, và $\varphi t \varphi^{-1} \in T$ với mọi $t \in T$ (dùng Bài tập 18). Suy ra rằng $W$ (được đồng nhất với một nhóm con của $\mathrm{Aut}(A)$) là chuẩn tắc và $\mathrm{Aut}(A)$ là tích nửa trực tiếp của nhóm con $E$ gồm các tự đẳng cấu bảo toàn phòng $C$ với $W$. Hãy chứng minh rằng tác động của $\mathrm{Aut}(A)$ trên $W$ xác định một đẳng cấu từ $E$ vào nhóm các tự đẳng cấu của hệ Coxeter $(W, S)$, hoặc vào nhóm các tự đẳng cấu của đồ thị Coxeter của $(W, S)$ (xem thêm Bài tập 19).